2026届北京市知春里中学高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2026届北京市知春里中学高三第三次测评数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知集合等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．25B．32C．35D．40
3．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
4．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ）
A．B．C．D．
10．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．3D．
11．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若变量，满足约束条件则的最大值是______.
14．已知，满足约束条件则的最小值为__________.
15．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
16．在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=lg2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
18．（12分）的内角的对边分别为，若
（1）求角的大小
（2）若，求的周长
19．（12分）已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
20．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
21．（12分）设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.
22．（10分）如图，三棱柱的所有棱长均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
2、C
【解析】
设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则
，解得，∴，即有．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．
3、C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C.
【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
4、A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
5、A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
6、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.
【详解】
，.
因为，所以有，因此有.
故选：A
【点睛】
本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.
7、B
【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，
其和等于16的结果，共2种等可能的结果，
故概率.
故选：B.
【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
8、D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
9、C
【解析】
根据题目中的基底定义求解.
【详解】
因为，
，
，
，
，
，
所以能作为集合的基底，
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10、A
【解析】
由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理得：，
又，所以得，
故△ABC的面积.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.
11、A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、9
【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.
【详解】
做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
目标函数过点时取得最大值，
联立，解得，即，
所以最大值为9.
故答案为:9.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
14、
【解析】
画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知：
可行域是由三点，，构成的三角形及其内部，当直线过点时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15、1296
【解析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.
故答案为：1296
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
16、
【解析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围可求的值，利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：，
由正弦定理可得：，
，
，
又，，，即，可得：，
外接圆的半径为，
，解得，由余弦定理，可得，又，
（当且仅当时取等号），即最大值为4，
面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】
试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出
，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，只需m+4≤3，得出的范围.
试题解析：
（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
18、（1）（2）11
【解析】
（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.
（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.
【详解】
由题

解得，所以
由余弦定理，，
再由
解得：
所以
故的周长为
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，
，
由可得，
又由,知
在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；
，在上单调递增；
，
（2），，
在上不单调，
在上有正有负，在上有解，
，，
恒成立，
记，则，
记，，
在上单调增，在上单调减.

于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，
，
，.
（ii）当时，
，故不满足题意.
综上所述，
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
20、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
21、（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】
（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；
（2），求和即可.
【详解】
（1），，
两式相减：①
用换，得②
②—①，得，即，
所以数列是等差数列，又，
∴，，公差，所以.
（II）
.
【点睛】
本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
22、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接交于点，连接，由于平面，得出，根据线线位置关系得出，利用线面垂直的判定和性质得出，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面平面；
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出和平面的法向量，利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面所成角的余弦值.
【详解】
解：（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，
则平面平面，
平面，，
为的中点，为的中点，
平面，
，平面，
平面，平面平面
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设
则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
取得，
设直线与平面所成角为
，
直线与平面所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.
数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4