2026届北京西城3中高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2026届北京西城3中高三第三次测评数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知函数，若，则的取值范围是，已知下列命题，在原点附近的部分图象大概是，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
2．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）
A．30B．C．D．62
3．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知下列命题：
①“”的否定是“”；
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
8．在原点附近的部分图象大概是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.
14．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

15．若，且，则的最小值是______.
16．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离.
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足AD∥BC，，，E为AD的中点，AC与BE的交点为O.
（1）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥的体积是定值；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值．
19．（12分）已知函数.
（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.
（2）若函数在区间上不单调，证明：.
20．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.
21．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：
（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；
（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？
附：，.
22．（10分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．
【详解】
解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，
方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，
故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．
2、B
【解析】
根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，
因此.
故选：B
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
3、C
【解析】
原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.
【详解】
解：由及正弦定理得.
因为，所以代入上式化简得.
由于，所以.
又，故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.
4、C
【解析】
∵集合，，
∴
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
5、B
【解析】
对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.
【详解】
函数，由
得或
解得.
故选:B.
【点睛】
本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.
6、A
【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】
由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
7、B
【解析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．
【详解】
“”的否定是“”，正确；
已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；
“”是“”的必要不充分条件,错误；
“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．
8、A
【解析】
分析函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
令，可得，即函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，则函数为奇函数，排除C、D选项；
当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、A
【解析】
解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.
【详解】
，.
因为，所以有，因此有.
故选：A
【点睛】
本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.
10、B
【解析】
分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.
详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；
记执行第次循环时，的值记为有，则有.
令，则有，故
，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.
11、A
【解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.
【详解】
，故，
所以曲线在处的切线方程为：.
令，则，故切线的纵截距为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
12、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.
【详解】
设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.
14、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
15、8
【解析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】
因为（即 取等号），
所以最小值为.
【点睛】
已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
16、.
【解析】
配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.
【详解】
，顶点为
因为函数的值域是，
令，可得或.
又因为函数图象的对称轴为，
且，所以的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.
【详解】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，
、分别为、的中点，则，同理可得，.
平面，平面，因此，平面；
（2）由于在底面的投影为，平面，
平面，，
为正三角形，且为的中点，，
，平面，且，
因此，到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18、（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】
（1）因为底面ABCD为梯形，且，所以四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD，
又平面，平面，所以平面，
又因为H为线段BE上的动点，的面积是定值，从而三棱锥的体积是定值.
（2）因为平面，所以，结合BE∥CD，所以，
又因为，，且E为AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以，结合，则平面，连接，则，
因为平面，所以，
因为，所以是等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，
所以，且，所以平面，所以PO是四棱锥的高，
又因为梯形ABCD的面积为，
在中，，所以.
（3）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B（，0，0），C（0，，0），D（，，0），P（0，0，），
则，
设平面PBD的法向量为，则即则，
令，得到，
设BC与平面PBD所成的角为，则，
所以，
所以直线BC与平面PBD所成角的余弦值为．
19、（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析
【解析】
（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.
（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.
【详解】
（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；
由解得为减区间.
下面证明函数只有一个零点：
∵，所以函数在区间内有零点，
∵，函数在区间上没有零点，
故函数只有一个零点.
（2）证明：函数，则
当时，，不符合题意；
当时，令，
则，所以在上单调增函数，而，
又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，
且，即
两边取自然对数，得即，
要证，即证，
先证明：，令，则
∴在上单调递增，即，∴①
在①中令，∴
令∴，即
即，∴.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
20、（1）（2）存在；详见解析
【解析】
（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；
（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．
【详解】
解：（1）由题易知解得，
所以椭圆方程为
（2）设
当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得
，显然
所以
因为
化简
解得即
所以此时存在定点满足题意
当直线斜率不存在时，显然也满足
综上所述，存在定点，使成立
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．
21、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关
【解析】
(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.
(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.
(3)计算的值,对照临界值表可得答案.
【详解】
（1）（万）
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.
（3）列联表如下
，
所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.
【点睛】
本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.
22、 (1);(2) .
【解析】
分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．
详解：(1)由题意及正、余弦定理得，
整理得，
∴
（2）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴.
由余弦定理得，
∴，
，当且仅当时等号成立．
∴．
∴面积的最大值为．
点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．
（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．
来A城市发展的理由
人数
合计
自然环境
1.森林城市，空气清新
200
300
2.降水充足，气候怡人
100
人文环境
3.城市服务到位
150
700
4.创业氛围好
300
5.开放且包容
250
合计
1000
1000
自然环境
人文环境
合计
男
女
合计
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
自然环境
人文环境
合计
男
100
400
500
女
200
300
500
合计
300
700
1000