2026届超级全能生高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届超级全能生高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知向量，等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）
A．B．8C．D．4
2．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．+1
3．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A．B．C．4D．5
4．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C．或－D．和－
5．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
7．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
9．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．1
11．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
12．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次.已知存在整数、、，对所有的整数满足，其中表示不超过的最大整数.则等于______.
14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.
15．的二项展开式中，含项的系数为__________．
16．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
18．（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=1．
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：…，求{bn}的前n项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.
20．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.
（1）求矩阵;
（2）求矩阵的特征值．
22．（10分）已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．
【详解】
F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
2、B
【解析】
以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.
【详解】
解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，
联立，取第一象限的解得，
即，则，
整理得，
则（舍去），，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.
3、D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
【详解】
解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
4、C
【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±．
故选C．
【点睛】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
5、C
【解析】
首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】
取中点，由，可知：，
为三棱锥外接球球心，
过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，
，，，为的中点
由球的性质可知：平面，，且．
设，
，，
，在中，，
即，解得：，
三棱锥的外接球的半径为：，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
6、A
【解析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
7、A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
8、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
9、C
【解析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
点不在直线、上，
若直线、互相平行，则过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行，则直线、互相平行成立，反证法证明如下：
若直线、互相不平行，则，异面或相交，则过点只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点可以作无数个平面，使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件，
故选：．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
10、B
【解析】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案.
【详解】
过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，
所以.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.
因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.
易证平面平面ABE，
所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.
不妨设，则，.
因为，所以，
所以，当时，等号成立.
此时EH与ED重合，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.
11、B
【解析】
根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
12、D
【解析】
由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.
【详解】
因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，
，且时，单调递增，所以
在上单调递增，因为，
故有，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
将已知数列分组为（1），，
共个组.
设在第组，，
则有，
即.
注意到，解得.
所以，.
因此，.
故.
14、
【解析】
先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.
【详解】
由等面积法可得，依题意可得，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.
15、
【解析】
写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.
【详解】
，
由，可得.
含项的系数为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.
16、
【解析】
函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．
【详解】
解：函数的定义域为，，，
设曲线与曲线公共点为，
由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．
由，可得．
联立，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、≤x≤
【解析】
由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2.
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.
18、（I）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设．
由,可得．
由，得，可得．
所以．
可得．
（Ⅱ）设，则.
即，
可得，且．
所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前项和．
考点：等差数列通项公式、用数列前项和求数列通项公式．
19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；
（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；
【详解】
解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，
则，从而
因为平面平面，平面平面
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，，平面，平面，所以平面；
（Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则
设平面的法向量为，则
，即，
令，则
又平面的一个法向量，则
从而，故
则直线与平面所成的角为，大小为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
20、 (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】
(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21、（1）（2）特征值为或．
【解析】
（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.
（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．
【详解】
解：（1）设矩阵由题意,
因为,
所以
,即
所以,
（2）矩阵的特征多项式,
令,解得或,
所以矩阵的特征值为1或．
【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
22、（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以，即，
所以数列是等差数列，且公差，其首项
所以，解得；
（2），①
，②
①②，得，
所以.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.