2026届福建省“超级全能生”高考考前模拟数学试题含解析

这是一份2026届福建省“超级全能生”高考考前模拟数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，定义在上的奇函数满足，若，，则，若，满足约束条件，则的最大值是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．6 海里B．6海里C．8海里D．8海里
2．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的准线方程是，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1B．2C．D．4
7．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
8．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分不必要条件
10．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．13D．
11．某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．B．C．D．
12．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________.
14．在中，已知，，则A的值是______.
15．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.
16．函数在的零点个数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知.
（1）解关于x的不等式：；
（2）若的最小值为M，且，求证：.
18．（12分）已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
19．（12分）已知函数
（I）若讨论的单调性；
（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.
20．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.
（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.
①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
21．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.
22．（10分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.
（1）证明：平面；
（2）若,求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得，
即，∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.
2、B
【解析】
根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.
【详解】
当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，
当时，，令
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为在上有3个零点，
所以当时，有2个零点，
如图所示：
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
3、C
【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
4、C
【解析】
设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.
【详解】
设,则,所以,
依题意可得,
设,则,
当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,
所以,且,
有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.
故选:C
【点睛】
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.
5、D
【解析】
先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.
【详解】
由题设有，故，故椭圆，
因为点为上的任意一点，故.
又，
因为，故，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.
6、B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
7、C
【解析】
首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
8、B
【解析】
根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，
所以平面，所以平面.在直角三角形中，，
设，则，
所以，所
以.又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：B．
【点睛】
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．
9、A
【解析】
试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
10、C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即
点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
11、C
【解析】
在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，
又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.
12、D
【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．
【详解】
在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；
在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的，所以是正确的；
在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；
在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如下所示：
目标函数可转化为与直线平行，
数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，
故可得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.
14、
【解析】
根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.
【详解】
，，即，
，，则，
，，，则.
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.
15、
【解析】
求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】
当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，
当，，
作出函数的图象如图，
设，
由图象知，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，
当时，方程有3个根，
则，等价为，
当时，，
若函数恰有4个零点，
则等价为函数有两个零点，满足或，
则，
即（1）
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
16、
【解析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）由（1）中所得函数，求得最小值，再利用均值不等式即可证明.
【详解】
（1）当时，等价于，该不等式恒成立，
当时，等价于，该不等式解集为，
当时，等价于，解得，
综上，或，
所以不等式的解集为.
（2），
易得的最小值为1，即
因为，，，
所以，，，
所以
，
当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；
（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.
【详解】
解:（1）因为,所以,
当,即时,；
当,即时,；
当,即时,.
（2）由得,
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
综上,满足题意的k的范围为
【点睛】
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
19、 (1)见解析(2)见证明
【解析】
(1)对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果；
(2)根据题意，由导数几何意义得到，将证明转化为证明即可，再令，设 ，用导数方法判断出的单调性，进而可得出结论成立.
【详解】
（1）解：易得，函数的定义域为，
，
令，得或.
①当时，时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增.
此时，的减区间为，增区间为.
②当时，时，，函数单调递减；
或时，，函数单调递增.
此时，的减区间为，增区间为，.
③当时，时，，函数单调递增；
此时，的减区间为.
综上，当时，的减区间为，增区间为：
当时，的减区间为，增区间为.；
当时，增区间为.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得
由（1）中得.
易知，导函数 在上为增函数，
所以，要证，只要证，
即，即证.
因为，不妨令，则 .
所以 ，
所以在上为增函数，
所以，即，
所以，即，
即.
故有（得证）.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.
20、 (1) (2) ①生产线上挽回的损失较多. ②见解析
【解析】
(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；
(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.
【详解】
（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，，则，互为独立事件
由已知有，
则
解得，则的最小值
（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.
①设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，，
则有，，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：
，
所以生产线上挽回的损失较多.
②由已知得的可能取值为，，，用样本估计总体，则有
，，
所以的分布列为
所以（元）
故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）
【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；
（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据，即可求得参数的值.
【详解】
（1）设，，则
两式相减，可得.（*）
因为线段的中点坐标为，所以，.
代入（*）式，得.
所以直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
（Ⅱ）设直线：（），联立
整理得.
所以，解得.
所以，.
所以
，
所以.
所以.
因为，所以.
【点睛】
本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.
22、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．
【详解】
（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，
所以，因为，所以，
又因为，，所以平面，
所以，又因为，所以是中点，
取中点，连结，，因为是的中点，则且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（图1） （图2）
（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，
则，.在中，，所以.
在中，，所以，
由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，.
所以，则，，
设平面的法向量为，
则即
取得.故平面的一个法向量为，
因为平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．