江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含答案）

这是一份江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量X∼B5,0.6，则E2X=( )
A. 3B. 6C. 1D. 12
2.若An2=20，则Cn2=( )
A. 6B. 10C. 12D. 15
3.在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为( )
A. 59B. 49C. 518D. 12
4.某产品的质量指标服从正态分布N176,σ2,σ>0，质量指标介于171至181之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得σ不超过( )(备注：若X∼Nμ,σ2，则P(X−μ0)=3281
C. E(Xn)=n3
D. 移动10次后，质点最有可能位于坐标为4的位置
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设m，n为实数，已知a=−2,3,−1,b=4,m,n，且a//b，则m+n= ．
13.已知随机变量X服从0−1分布，则PX=1=13，则DX= ．
14.将5名工作人员分配到A，B，C三个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，其中工作人员甲只能去A岗位，则不同的安排方法的种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在二项式(2x+a)6的展开式中，含x3的项的系数为−160．
(1)求实数a的值；
(2)记(2x+a)6=a0+a1x+1+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，求i=16iai．
16.(本小题15分)
如图，在正四棱锥S−ABCD中，SA=AB=3 2，点P在侧棱SD上，且SP=2PD．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)求二面角P−AB−D的余弦值．
17.(本小题15分)
一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分3次随机抽取，每次抽取1个球．
(1)若有放回的依次抽取，求恰有2次抽取到白球的概率;
(2)若无放回的依次抽取，记抽到白球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题17分)
某校田径队有编号为1,2,3,4的四名队员，每天训练前，都要从四名队员中随机选出一人担任队长．
(1)求1号队员在三天内至少担任一次队长的概率；
(2)记m天中选取的队员对应的最大编号为X．
(i)m=3时，求PX=2；
(ii)求使得EX≥278成立的最小的m的值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=13，AB=8，BC=6，∠ABC=90∘，D为AC中点，B1D⊥平面ABC．
(1)求直线B1D与平面BDC1所成角的正弦值；
(2)求三棱锥B1−BDC1的体积；
(3)若质点Q的初始位置位于点A处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点Q移动n次后仍在底面ABC上的概率为pn，求pn．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.ACD
12.−4
13.29
14.50
15.解：(1)含x3的项的系数为：C63•23•a3=160a3=−160，所以a=−1．
(2)由(1)可知a=−1
则(2x−1)6=a0+a1x+1+a2(x+1)2+⋯+a6(x+1)6，对等式两边求导得：
12(2x−1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+⋯+6a6(x+1)5，
令x=0，得12(2×0−1)5=a1+2a2(0+1)+3a3(0+1)2+⋯+6a6(0+1)5，
即−12=a1+2a2+3a3+⋯+6a6，即i=16iai=−12．

16.解：(1)连接BD交AC于O，连接SO，因为四棱锥S−ABCD是正四棱锥，
所以SO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以SO⊥AC，
又AC⊥BD，SO∩BD=O,SO,BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，
又SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD．
(2)过P作PH//SO，交BD于H，过H作HE//AD，交AB于E，连接EP，
因为SO⊥平面ABCD，则PH⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以PH⊥AB，
又AB⊥AD，所以EH⊥AB，又EH∩PH=H,EH,PH⊂平面PEH，
所以AB⊥平面PEH，又EP⊂平面PEH，则AB⊥EP，
所以∠PEH为二面角P−AB−D的平面角，
又SA=AB=3 2，则AO=12AC=3，SO= SA2−AO2= 18−9=3，
又SP=2PD，所以PH=13SO=1，DH=13DO=1，则EH=56AD=5 22，
在Rt▵EHP中，EH=5 22，PH=1，EP= 1+252=3 62，
所以cs∠PEH=5 223 62=5 39．

17.解：(1)若每次抽出的球放回，则每次抽取到白球的概率为26=13，
记随机抽取3次，恰有2次抽取到白球为事件A，
所以P(A)=C32×(13)2×23=29；
答：若每次抽出的球放回，恰有2次抽取到白球的概率为29；
(2)由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，
因为P(X=0)=C43C63=15，P(X=1)=C21C42C63=35，P(X=2)=C22C41C63=15，
所以X的分布列为：
所以数学期望E(X)=0×15+1×35+2×15=1．
18.解：(1)设每天选到i号队员的事件为Ai，P(Ai)=14，i=1,2,3,4．
设事件B为“三天都不选1号”，则P(B)=343．
所以1号队员在三天内至少担任一次队长的概率P=1−P(B)=1−343=3764。
(2)(i)X=2等价于三天选取的编号均不大于2，且至少有一次为2．
P(X=2)=P(X≤2)−P(X≤1)=243−143=764．
(ii)P(X=1)=14m，P(X=k)=k4m−k−14m，k=2,3,4．
期望E(X)=k=14kP(X=k)，
EX=1⋅14m+224m−14m+334m−24m+41−34m
=4−14m−24m−34m
即E(X)=4−14m−24m−34m．
由E(X)≥278，得14m+12m+34m≤58．
m=1时，左边=32>58；
m=2时，左边=1416>58；
m=3时，左边=3664