专题10 累加累乘、取倒数、构造法、奇偶项数列等常见方法求通项公式精品讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版

这是一份专题10 累加累乘、取倒数、构造法、奇偶项数列等常见方法求通项公式精品讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版，共22页。试卷主要包含了累加法、累乘法，同除法及取倒数法，同除法或取倒数法，分段递推求通项等内容，欢迎下载使用。
七种常见题型思维导图：
题型一 累加法、累乘法
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知识储备：一、累加法、累乘法
①累加法：适用于，求
具体过程：两边分别相加得
②累乘法：适用于，求
具体过程： ，两边分别相乘得
---累加法---
1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，代入计算即可得到，继而得到.
【详解】因为数列满足，，
所以，
所以，
则，
所以，
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得.
【详解】因为，所以，
所以当时，，，…，，
累加可得，
因为，所以，当时，，满足上式，
所以，
故选：B．
3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式.
【详解】当时，，即，而，
所以
，满足上式，
所以所求通项公式为.
故选：C
4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可.
【详解】在数列中，
即 ,
所以

故选：A.
5．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可；
（2）由可得答案.
【详解】（1）已知数列满足，．
因为，，成等差数列，所以，
所以，
整理得，解得，或（负值舍去）.
（2）因为，又，
所以时，
，
时,也满足上式，
所以．
6．（25-26高三上·贵州遵义·模拟）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用累加法求出的通项公式，然后可得的通项公式；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，
，
是首项为1的正项数列，
则，
又满足上式，所以.
（2）由（1）可得，，
所以.
---累乘法---
1．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，
则的前6项和为.
故选：C.
2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，得，，．
由累乘法，得，
即，
又，所以．
故选：C．
3．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知首项为1的数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.
【详解】依题意，.
故选：A.
4．（24-25高三上·江苏淮安·模拟）(多选)已知数列满足，，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得.
【详解】，则、、、，
累乘得：，
又，故，故B正确；
则，故A正确；
，
则，
有
，
即，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
5．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列的首项且满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)数列满足，，求数列的通项公式；
(3)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据递推关系可得，由等比数列定义可得结论；
（2）利用累乘法可求得；
（3）由等比数列通项公式求法可求得，由此可得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）由得：，，
，，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2），，
当时，；
当时，满足；
综上所述：.
（3）由（1）得：，，又，
；
，
，
，
.
6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且．
(1)求及；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；
（2）先求出，累乘可求答案.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，；
又，所以，所以，
所以，．
（2）因为，所以，
，
以上各式相乘可得，
因为，所以.
题型二 同除法及取倒数法
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知识储备：二、同除法及取倒数法
①形如整式，两边同时除以
②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列）
③形如,则有.
所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
题型三 同除法或取倒数法
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1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值.
【详解】，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2023.
故选：C
2．（25-26高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解.
【详解】因为，，易知，
所以，即，
又，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
则，故，
所以.
故选：A.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】令，根据构造法求得，结合等比数列前n项求和公式建立不等式即可求解.
【详解】，令，
则，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
得，所以，
∴，
由，解得.
故选：B
4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可．
【详解】解：因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；
故选：C
5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.
【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.
故选：B.
6．（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立.
【详解】（1）由题设条件，可得若，则，
用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以.
因为，所以，，，所以，，
由得，所以，
又，所以是首项、公比均为的等比数列.
所以，则.
（2）显然时，成立，
当时，，所以，所以，
所以，即，所以，
所以.
综上，，得证.
题型四 构造法
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知识储备：四、构造法
①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.
1．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059B．2056C．1033D．520
【答案】C
【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项.
【详解】由题设，则，
所以，则
又，则，
所以是首项、公比均为的等比数列，则，
所以，则.
故选：C
2．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．520B．521C．1033D．1034
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解.
【详解】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即，于是，所以．
故选：C
3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可.
【详解】因为数列满足，，可得，
可得数列是首项为3，公差为1的等差数列，
则，即，
则，
可得
，
因为，可得，解得，
即所求的最大值为6.
故选：B.
4．（25-26高三上·陕西榆林·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解.
【详解】因为，则，整理得，
又，则，
因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，
则，所以.
故选：D.
5．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）(多选)已知数列满足则（ ）
A．B．是等比数列
C．D．是等比数列
【答案】ACD
【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确.
【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，从而，C正确.
由得，A正确.
由得，
故数列不是等比数列，B错误.
由得，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确.
故选：ACD.
6．（25-26高三上·广东·阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
【详解】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
则，∴，故C错误；
则，故A正确；
∴，故D错误.
故选：AB.
题型五 因式分解法求通项
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1．（25-26高三上·吉林·阶段练习）已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可得数列是等比数列，由此求得其通项公式和前项和，代入不等式，并分离参数，可利用基本不等式，求得实数的取值范围.
【详解】由，得.
因为数列各项均为正实数，所以，所以，所以.
所以，即.
因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.
所以所以.
因为，所以.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以.所以.
所以实数的取值范围是.
故选：A.
2.已知正项数列满足，且，求的通项公式
【答案】
【详解】由已知，得，
因为数列是正项数列，所以，
即，
故
累乘得，，
又也满足上式
故的通项
3.已知正项数列满足，设．
(1)求，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)的通项公式，并求其前项和为．
【答案】(1)，
(2)是，理由见解析
(3)，
【详解】（1），当时，，，
可得，
则或，因为为正项数列，所以.
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
题型六 隔项差（比）数列
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六、隔项等差（比）数列
①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为；
②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为
1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（ ）
A．nB．n﹣1C．n﹣D．n+
【答案】C
【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.
【详解】解：由得，
两式相减得，
故.故选.
2.（北京市大兴区2025届高三上学期期末检测数学试题）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（）
A．B．
C．是等比数列D．
【答案】D
【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解.
【详解】当时，，故A正确.
当时，，
当时，，，故B正确.
C项，，
，
所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确.
D项，由C项得，
又，，是以为首项，为公比的等比数列，
，故D错误.
故选：D
3．（24-25高三下·河北保定·期末考试）已知数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A．3069B．2046C．1023D．511
【答案】B
【分析】对已知条件进行整理化简，判断数列是等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求得结果.
【详解】，即，
，，
由可知，故，则数列是公比的等比数列；
又，设数列的前项和为，
则.故选：B.
题型七 分段递推求通项
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七、分段递推求通项
奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式
1．（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（ ）
A．1209B．1211C．1213D．1215
【答案】B
【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找出数列的规律，判断到哪一项等于，即可求解.
【详解】由已知可得，数列：，
可得规律为1，6，11；6，11，16；11，16，21；.．，
此时将原数列分为三个等差数列：
，；
，；
，；
因为，
所以满足对任意的恒成立的最大值为1211.
故选：B.
2．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（ ）
A．190B．380C．210D．420
【答案】C
【分析】利用迭代法和不完全归纳法可作出判断.
【详解】根据，由可得，
，，
由此可归纳通项公式为，
则，
故选：C.
3．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值.
【详解】解：因为且
所以，，
，，
，，
所以数列是周期数列，且周期为4，
所以.
故选：C.
4．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，对于任意的且，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解.
【详解】依题意，设，
则，
，，
，，
，，
可归纳得：，，
所以.故选：B