专题05 与、累加、累乘、构造、递推法求通项公式精品讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版

这是一份专题05 与、累加、累乘、构造、递推法求通项公式精品讲义2026年高考数学一轮复习（全国适用）原卷+解析版，共14页。试卷主要包含了若已知数列的前项和与的关系，，累加法，累乘法，构造数列法等内容，欢迎下载使用。
一、若已知数列的前项和与的关系，
求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
二、累加法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
大题注意检验n=1时满足条件.
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
三、累乘法
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项.
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
图文详解：
四、构造数列法
1、形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再用累加法便可求出
图文详解：
2、形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
3.倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
图文详解：
4.形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
课前热身
一、单选题
1．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．153B．161C．163D．238
答案B
解 因为，则．故选:B.
2．（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{}的前n项和满足：，且＝2，那么＝（ ）
A．2B．10C．11D．56
答案A
解 中，令 ，即，
所以 ，故选：A.
3．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （ ）
A．5B．C．4D．
答案A
解 在数列中，即 ,
所以
故选：A.
4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列中，，.则（ ）
A．4B．2C．D．
答案C
解 ，即，
所以，,
显然满足上式，所以，则.故选：C.
5．（18-19高二上·山东济南·期中）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案D
分析 当,两式做差整理求解即可.
解因 为，当，两式做差得：
，故，当，，符合；故.
故选：D
题型一 由Sn与an关系求通项
例1．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
答案B
思路分析: 根据题设与的递推关系式推导出，再根据求出，逐项求出即可.
解 由题意，，则当时，有，
两式相减可得，即.
当时，，因为，所以，所以.故选：B.
例2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
思路分析: （1）根据给定条件，利用求解即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可推理得解.
解 （1），，
当时，，
两式相减得，即，而满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：由（1）知，，则，
所以.
【感悟提升】
变式训练：1（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求取得最大值时的值.
答案 (1) (2)或
思路分析 （1）根据与的关系即可求解；
（2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解.
解 （1）当时，，解得；
当时，，即.
因为也满足，所以.
（2）由（1）得，所以，
所以当时，，即；
当时，，即；当时，，即，
所以，故当或时，取得最大值.
题型二 累加法求通项
例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案B
思路分析 应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式.
解 由题设，即
，且，
所以，
由满足上式，故.故选：B
3．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
答案 (1) (2)
思路分析 （1）根据，成等差数列得；
（2）由.
解（1）已知数列满足，．
因为，，成等差数列，所以，
所以，
整理得，解得，或（负值舍去）.
（2）因为，又，
所以时，
，
时,也满足上式，所以．
【感悟提升】
变式训练：2.（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求证：.
答案 (1)(2)证明见解析
思路分析（1）用累加法即可求出结果；
（2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果.
解（1）因为，
所以当时，，…，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又满足上式，故.
（2）由（1）得，所以，
所以数列的前n项和，即.
题型三 累乘法求通项
例3．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
答案B
思路分析 根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果.
解 由可得，
即，因此；
因此，
可得，所以.
故选：B
4．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
答案 (1) (2)
思路分析 （1）根据与的关系结合累乘法求解即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
解 （1）令，得，
当时，因为，所以，
两式相减得，即，所以，
所以，即，
所以，又，符合上式，所以；
（2），则，
，
两式作差得，
即，所以．
【感悟提升】
变式训练：3.（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
答案C
思路分析 首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果.
解 由，
当时，
，
显然，对于时也成立，
所以，则的前6项和为.故选：C.
题型四 常数型构造法求通项
例4．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．520B．521C．1033D．1034
答案C
思路分析 根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解.
解 数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即，于是，所以．
故选：C
5.（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
答案 (1)． (2)．
思路分析 （1）由条件，结合关系，求数列的通项，
（2）由（1）可得，利用错位相减法求结论.
解 （1）因为，取可得，又，
所以，解得，当时，用替换可得，
所以，即，
所以，又，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）因为，所以，①
，②
①－②得
所以，所以．
【感悟提升】
变式训练：4.（24-25高三·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（ ）
A．191B．193C．1023D．1025
答案D
思路分析 根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项.
解 ，
，
是以为首项，2为公比的等比数列，，即，
对于A、令，解得2，故A错误；
对于B、令，解得2，故B错误；对于C、令，解得2，故C错误；对于D、令，解得2，是第10项，故D正确故选：
5.（25-26高三上·湖北·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
答案 (1) (2)
思路分析 （1）利用即可得，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解.
解（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，
又，
所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以
．
题型五 n阶型同除法求通项
例5.（24-25高三·陕西榆林·期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案D
思路分析 利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解.
解 因为，则，整理得，
又，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，
则，所以.故选：D.
6.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小．
答案 (1)；(2)当时，；当时，.
思路分析 （1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，
根据的关系，求得，构造函数，利用其单调性，
解 （1）由已知，所以，又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即 .
（2）已知，①
当时，．当时，，②
①②得，也适合，所以；
设函数，则函数是上的减函数，且，，
所以当时，，即；当时，，即．
因此，当时，；当时，．
【感悟提升】
变式训练：5.（24-25高三·江苏苏州·期中考试）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，若，求．
答案 (1) (2)．
思路分析 （1）当时，得到，两式相减化简得到，进而得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
解（1）由题意，数列满足，
当时，，
两式相减得到，即，
即，所以，
令，可得，解得，可得，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由，可得，
则，
所以，
两式相减，可得
所以.
2026高考模拟热身训练
一、单选题
1．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
答案 B
解 由可得，即，因此；
因此，
可得，所以.故选：B
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案 A
解 由，则，
由，则，故，
则、、、，
则.故选：A.
3．（2025·广西·模拟预测）(多选题)已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
答案 ACD
思路分析 当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可.
解 因为数列的前项和为，，且，
当时，，当时，由得，
上述两个等式作差得，可得，但，
所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，故当时，，所以，
对于A选项，数列不是等比数列，A对；对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD.
4．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．D．
答案 ACD
思路分析 令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确.
解 对于A，由可得，
即，所以，因此A正确，
对于B，由可得，即，
显然不是定值，
因此数列不是等差数列，即B错误；
对于C，结合B分析由可知，
即数列是以为首项，公比为2的等比数列，
因此可得，所以，即C正确；
对于D，
，即D正确.
故选：ACD
5．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）（多选题）已知为数列的前项和，若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是等比数列
答案 AD
解 对于A，由可得，当时，，故A正确；
对于B，由可得，当时，，
两式相减可得，
即，即，但，
所以数列是从第二项起的等比数列，不是整个数列都是等比数列，故B错误；
对于C，由可得，即，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故C错误，D正确；
故选：AD
6．（2025·江西·三模）（多选题）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案BCD
解 因为，所以，解得，故A错误；当时，
，
则，且也符合，故B正确；
，故C正确；
，则，故D正确.
故选：BCD
7．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
答案 6
解 由，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，故，
令，则，
所以数列是递增数列，因为，，
所以当时，，即，
当时，，即，所以的最小值为6．故答案为：6
8．（2025·山东淄博·一模）已知数列的前项和为（），满足（），，则 .
答案/
解 由可得，
又，则，即，
当时，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，则，所以.故答案为：
9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列．
(1)求d；
(2)若，
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，数列满足的前n项和，证明：．
答案 (1)或． (2)（i）；（ii）证明见解析
思路分析 （1）应用等差数列基本量运算计算求解；
（2）（i）应用计算结合累乘法得出通项公式；
（ii）应用求和公式累加计算求和计算证明.
解（1）因为，且数列是公差为d的等差数列，
所以或，
于是或，且，所以或．
（2）（i）解：当时，，即，
所以，
相减整理得，即得
所以，
所以，累乘得，
也满足上式，所以．
（ii）证明：，显然．
，
所以，
累加得，得证．
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
答案 (1) (2)
解（1）令，，又由有，
则有
，
所以．
又因为数列的各项均为正数，所以．
（2）由
，
知
．
求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
大题注意检验n=1时满足条件.