2026届北京市顺义牛栏山一中高三下学期联合考试数学试题含解析

这是一份2026届北京市顺义牛栏山一中高三下学期联合考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数y=sin2x的图象可能是，由曲线围成的封闭图形的面积为，一个频率分布表，已知，，，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）
A．58厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米
2．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1B．或2C．或D．或1
3．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．函数y=sin2x的图象可能是
A．B．
C．D．
5．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ）
A．60B．192C．240D．432
6．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．由曲线围成的封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则
A．1B．2C．3D．4
11．给出个数 ，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )
A．；B．；
C．；D．；
12．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是____________．
14．已知下列命题：
①命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；
②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“”为真命题；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
15．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______.
16．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．
（1）证明：；
（2）若的面积，求的取值范围．
18．（12分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知直线与抛物线交于两点.
（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；
（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
21．（12分）已知点，若点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程.
22．（10分）在中，内角的对边分别是，满足条件．
（1）求角；
（2）若边上的高为，求的长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.
【详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，
故导线长度约为63(厘米).
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.
2、D
【解析】
求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.
【详解】
直线的斜率为，
对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
3、B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
4、D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
5、C
【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．
【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数为．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．
6、D
【解析】
试题分析：由于在等比数列中，由可得：，
又因为，
所以有：是方程的二实根，又，，所以，
故解得：，从而公比；
那么，
故选D．
考点：等比数列．
7、A
【解析】
先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.
【详解】
封闭图形的面积为.选A.
【点睛】
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.
8、B
【解析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．
【详解】
由，得，则，
，，所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．
10、D
【解析】
先用公差表示出，结合等比数列求出.
【详解】
,因为成等比数列，所以，解得.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.
11、A
【解析】
要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.
【详解】
因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大 ，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.
【点睛】
本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
12、D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意，，则，得．由题意可设的方程为，，联立方程组，消去得，恒成立，，，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号．故面积的取值范围是.
14、②
【解析】
命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/ a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．
15、
【解析】
由余弦定理，正弦定理得出，从而得出，推出的范围，由余弦函数的性质得出的范围，再利用二倍角公式化简，即可得出答案.
【详解】
由题意得
由正弦定理得
化简得
又为锐角三角形，
则，，
.
故答案为
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
16、2
【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】
因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；
（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.
【详解】
（1）设点、，则，
直线的方程为：，
由，消去并整理得，
由韦达定理可知，，，
代入直线的方程，得，解得，
同理，可得，
，，
,代入得，
因此，；
（2）设点到直线、的距离分别为、，则，
由（1）知，，，
，，，
同理，得，，
由，整理得，由韦达定理得，，
，得，
设点到直线的高为，则，
，
，
，解得，因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．
18、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
19、（1）（2）
【解析】
（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.
【详解】
（1）设，
因为
，
即直线的斜率为1.
（2）显然直线的斜率存在，
设直线的方程为.
联立方程组，
可得
则
，
令，则
则
当时，；
当且仅当，即时，解得时，取“=”号，
当时，；
当时，
综上所述，当时，取得最大值，
此时直线的方程是.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.
20、（1），（2）最大值，最小值
【解析】
（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.
（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为
所以
两式平方相加得：
因为直线的极坐标方程为.
所以
所以
即
（2）如图所示：
圆心C到直线的距离为：
所以圆上的点到直线的最小值为：
则点M(2，0)到直线的距离为最大值：
【点睛】
本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.
【解析】
（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；
（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.
【详解】
解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.
因此椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，
，联立直线与椭圆的方程消去可得，
即，.
面积可表示为
令，则，上式可化为，
当且仅当，即时等号成立，
因此面积的最大值为，此时直线的方程为.
【点睛】
常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：
（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；
（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.
22、（1）．（2）
【解析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）已知，由知，在中，解出即可.
【详解】
（1）由正弦定理知
由己知，而
∴，
（2）已知，
则由知
先求
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.