2026届北京市顺义牛栏山第一中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届北京市顺义牛栏山第一中学高三最后一卷数学试卷含解析，共13页。试卷主要包含了已知，则，不可能满足的关系是，在中，为中点，且，若，则，已知复数为纯虚数，则实数， “”是“”的等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．70D．80
2．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为( )
A．B．C．D．
4．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
5．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
6．已知，则，不可能满足的关系是（）
A．B．C．D．
7．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
8．在中，为中点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A．-1B．1C．0D．2
10． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
14．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．
15．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
16．已知集合，则____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
18．（12分）设函数，.
（1）解不等式；
（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.
19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；
（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；
（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
20．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.

（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体的体积.
21．（12分）已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
22．（10分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解
【详解】
由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，
所以的展开式中含的项的系数为．
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
2、D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
3、C
【解析】
利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.
【详解】
，又的实部与虚部相等，
，解得.
故选:C
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.
4、D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
5、B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.
故选:B.
【点睛】
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
6、C
【解析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】
∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
7、B
【解析】
设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.
【详解】
由题意可知点，设点、，设直线的方程为，
由于点是的中点，则，
将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，
由韦达定理得，得，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
8、B
【解析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
9、B
【解析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
10、B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
11、A
【解析】
根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.
【详解】
由得，
即，即，
因为，所以，
由余弦定理，所以，
由的面积公式得
故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12、A
【解析】
首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.
【详解】
由于为上的减函数，则有，可得，
所以当最小时，，
函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，
等价于函数与的图像有两个交点．
画出函数的简图如下，而函数恒过定点，
数形结合可得的取值范围为．
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【详解】
如图，作，交于，，
由题意得正三棱柱底面边长，高为，
所得正三棱柱的体积为：
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
14、
【解析】
设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.
【详解】
由题意，直线的方程为，与
联立得，，
由得，，
从而，
即，
从而离心率．
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15、
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
16、
【解析】
根据并集的定义计算即可.
【详解】
由集合的并集，知.
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的并集运算，属于容易题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）直线过定点，该定点的坐标为．
【解析】
（1）因为椭圆过点，所以 ①，
设为坐标原点，因为，所以，又，所以 ②，
将①②联立解得（负值舍去），所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知，设，．
将代入，消去可得，
则，，，
所以
，
所以，此时，所以，
此时直线的方程为，即，
令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为．
18、 (1)；(2)
【解析】
试题分析：
（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解．（2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可．
试题解析：

整理得
解得

①

②
解得
③

,且无限趋近于4，
综上的取值范围是
19、（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.
【解析】
（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.
（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.
（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.
【详解】
（1）尺寸在的频率：
尺寸在的频率：
且
所以可知尺寸的中位数落在
假设尺寸中位数为
所以
所以这个零件尺寸的中位数
（2）尺寸在的个数为
尺寸在的个数为
的所有可能取值为1，2，3，4
则，
，
所以的分布列为
（3）二等品的概率为
如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为
（元）
余下二等品的个数期望值为
如果不对余下的零件进行检验，
整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为
（元）
所以，所以可以不对余下的零件进行检验.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.
20、（1）平行，证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知，，则平面，在利用锥体的体积公式即可．
【详解】
（1）证明：因翻折后、、重合，
∴应是的一条中位线，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）解：∵，，
∴面
且，，
，
又，
．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题．
21、（1）（2）存在，
【解析】
由数列为“数列”可得,，，两式相减得，又，利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;
由题意得，，，两式相减得，，
据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合，得到关于的不等式,再由时，且为整数即可求出符合题意的的所有值.
【详解】
因为数列为“数列”，
所以，故，
两式相减得，
在中令，则可得，故
所以，
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列，
所以，因为，
所以.
（2）由题意得，故，
两式相减得
所以，当时，
又因为
所以当时,
所以成立,
所以当时，数列是常数列，
所以
因为当时,成立,
所以，
所以
在中令，
因为，所以可得，
所以，
由时，且为整数，
可得,
把分别代入不等式
可得,，
所以存在数列符合题意,的所有值为.
【点睛】
本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
22、（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得下表：
的观测值为
所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且，，，
所以的分布列为
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
冰雪迷
40
20
60
非冰雪迷
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2