2026届北京十二中高三一诊考试数学试卷含解析

这是一份2026届北京十二中高三一诊考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知函，，则的最小值为，设曲线在点处的切线方程为，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A．B．2
C．D．
2．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A．B．C．D．
6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是函数图象上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
8．已知函，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．0D．
9．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
10．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈A B．3B C．A∩B=B D．A∪B=B
12．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：
①；
②函数在内有且仅有个零点；
③不等式的解集为．
其中，正确结论的序号是________．
14．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____
15．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____．
16．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~．
18．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：
（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．
19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：．
（2）若，求二面角的余弦值．
20．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：．
21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
2、D
【解析】
先化简，再根据，且AB求解.
【详解】
因为，
又因为，且AB，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、C
【解析】
根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知，，成等差数列，设，，.
由于，据勾股定理有，即，化简得；
由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；
在直角中，由勾股定理，，∴离心率.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
4、C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
5、A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
6、B
【解析】
取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.
【详解】
取的中点，连接、，
由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得.
设球心为，和的中心分别为、.
由球的性质可知：平面，平面，
又，由勾股定理得.
所以外接球半径为.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7、C
【解析】
先画出函数图像和圆，可知，若设，则，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若设圆的圆心为，则，所以只要取得最小值，若设，则，然后构造函数，利用导数求其最小值即可.
【详解】
记圆的圆心为，设，则，设，记，则
，令，
因为在上单调递增，且，所以当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以（当时等号成立）.
故选：C
【点睛】
此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.
8、B
【解析】
，利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，
又，，故当，即时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
9、A
【解析】
由奇函数定义求出和．
【详解】
因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
10、D
【解析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选：D
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
11、C
【解析】
试题分析：集合
考点：集合间的关系
12、A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①③
【解析】
利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
因为函数是奇函数，所以，
又，所以，即，
所以，函数的周期为.
对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；
对于②，，令，可得，得，
所以，函数在区间上的零点为和.
因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；
对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．
14、
【解析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.
【详解】
解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，
令，
，在递增；
，
递减，
递增，
时，在有一个零点，在有2个零点；
故答案为：.
【点睛】
已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.
15、
【解析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.
【详解】
解：函数,且
画出的图象如下：
因为,且存在唯一的整数使得,
故与在时无交点,
,得；
又,过定点
又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以
,
存在唯一的整数使得
所以
.根据图像可知,当时, 恒成立.
综上所述, 存在唯一的整数使得,此时
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题.
16、8 （写为也得分）
【解析】
由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析
【解析】
根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.
【详解】
证明：∵，所以，
又因为，
所以．
在与中，，，
故~.
【点睛】
本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.
18、（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元
【解析】
（1）分段计算个人所得税额；
（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
．
所以随机变量X的分布列为：
．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．
【详解】
（1）证明：连接，，．
，，平面．
平面，平面平面．
，为的中点，．
平面平面，平面．
平面，．
为斜边的中点，，
（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，
则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，记平面的法向量为
由得到，
取，可得，则．
易知平面的法向量为．
记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，
则，所以二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，且成等差数列，可求得q，从而可得本题答案；
（Ⅱ）化简求得，然后求得，再用裂项相消法求，即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）因为数列是各项均为正数的等比数列，，可设公比为q，，
又成等差数列，
所以，即，
解得或（舍去），则，；
（Ⅱ）证明：，
，，
则，
因为，所以
即.
【点睛】
本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
21、见解析
【解析】
根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.
【详解】
∵在等差数列中，，
∴，
∴公差，
∴，
∴，
若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，
若选①，∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，满足成立.
若选②，∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程无正整数解，
∴不存在正整数使得成立.
若选③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得或（舍去），
∴，
∴当时，满足成立.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
22、（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.
【解析】
(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.
【详解】
(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；
由直线l的极坐标方程可得ρcsθcs－ρsinθsin＝ρcsθ－ρsinθ＝2，
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，
则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.
级数
一级
二级
三级
四级
每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分
税率
3
10
20
25
990
1190
1390
1590