北京市十一学校2024-2025学年高三上学期12月诊断数学试卷

这是一份北京市十一学校2024-2025学年高三上学期12月诊断数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若两条直线ax+2y＝0与x+（a+3）y+4＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
2．（4分）已知集合，下列说法正确的是（ ）
A．B⊆AB．A∩B＝∅C．A⫋BD．A∪B＝A
3．（4分）设{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2＝4，S3＝14，若存在n0使得的乘积最大，则a1＝（ ）
A．8B．6C．4D．2
4．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若x＞0，则
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．在（0，π）的最小值为
D．若a＞b＞1＞c＞0，则ac＞bc
5．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin3x﹣cs3x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6．（4分）已知奇函数y＝f（x）在R上单调递增，则“f（x1）+f（x2）＞0”是“x1+x2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（4分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
8．（4分）若圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q＝，则实数k的取值范围为（ ）
A．[，]B．[﹣，]C．{﹣，}D．{﹣，}
9．（4分）已知{an}是各项均不为零的等差数列，a3＜0，公差d＞0，Sn是{an}的前n项和，设，则数列{bn}（ ）
A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项
C．有最大项和最小项D．无最大项和最小项
10．（4分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AD1的中点．点P为正方体表面上的动点，满足A1P⊥EF．给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A．存在点P，使得|A1P|＝2
B．存在点P，使得A1P⊥平面ADF
C．存在点P，使得DP∥EF
D．存在点P，使得B1P＝DP
二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是 ．
12．（10分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线上．若|MF|＝6，则点M的横坐标为 ，△OMF的面积为 ．
13．（5分）若点A（csθ，sinθ）关于直线y＝x对称点为，写出θ的一个取值为 ．
14．（10分）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为 ；M，N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点P是该多面体表面上异于M，则•的最大值为 ．
15．（5分）已知曲线W：x4+y2＝m（m＞0），给出下列四个命题：
①曲线W关于x轴、y轴和原点对称；
②当m＝2时，曲线W上及围成的区域内部共有9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③当m＝1时，曲线W围成的区域面积大于π；
④当m＝4时，曲线W围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是4．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题（共6道解答题，共85分）
16．已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）csx，．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，求|MN|的最大值．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b2A﹣sin2B＝sin2C﹣sinBsinC．
（Ⅰ）求csA的值；
（Ⅱ）若csB＝，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD＝AD＝CD＝2，AD∥BC，∠DAB＝90°
（Ⅰ）证明：PC⊥AD；
（Ⅱ）从下面条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件①：PB⊥AD；
条件②：PC＝；
条件③：二面角P﹣AD﹣B的大小为60°．在棱PB上是否存在点G（不与端点重合），使得直线CG与平面PAD所成的角的正弦值为？若存在，求，若不存在，说明理由．
（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．）
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点A（2，0），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设不经过右顶点的直线l：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线AQ于E，求证：直线l经过定点．
20．已知函数f（x）＝（﹣1）lnx+1，其中a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处的切线与y＝x+2平行，
（i）求a的值；
（ii）证明：函数f（x）在定义域上恰有两个不同的零点．
（Ⅱ）设函数g（x）＝ex﹣x（f（x）+lnx﹣1）在区间（0，e﹣a）上存在极值，求证：a﹣1+e﹣a＞a+1．
21．已知n项数列An：a1，a2，⋯，an（n≥3），满足∀i≠j有ai≠aj．对于变换T满足∀i∈{1，2，⋯，n}，有T（ai）∈{a1，a2，⋯，an}，且∀i≠j有T（ai）≠T（aj），称数列T（An）：T（a1），T（a2），⋯，T（an）是数列An的一个排列．∀i∈{1，2，⋯，n}，记，Tk+1（ai）＝T（Tk（ai））（k∈N+），如果k是满足Tk（ai）＝an+1﹣i的最小正整数，称数列An存在k阶逆序排列，称T是An的k阶逆序变换．
（1）已知数列A4：1，2，3，4，数列T（A4）：3，1，4，2，求T2（A4），T4（A4）；
（2）证明：对于4项数列A4，不存在3阶逆序变换；
（3）若n项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值．
2024-2025学年北京市十一学校高三（上）诊断数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题4分，共0分）
1．（4分）若两条直线ax+2y＝0与x+（a+3）y+4＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】由已知结合直线垂直的关系即可求解．
【解答】解：若两条直线ax+2y＝0与x+（a+7）y+4＝0垂直，
则a+3（a+3）＝0，即a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线垂直的斜率关系的应用，属于基础题．
2．（4分）已知集合，下列说法正确的是（ ）
A．B⊆AB．A∩B＝∅C．A⫋BD．A∪B＝A
【分析】可求出集合B，然后根据子集、真子集、交集和并集的定义逐项判断即可．
【解答】解：∵，
∴B⊆A错误，A∩B＝∅，A⫋B错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根据函数单调性求值域的方法，子集、真子集、交集和并集的定义，是基础题．
3．（4分）设{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2＝4，S3＝14，若存在n0使得的乘积最大，则a1＝（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】由已知结合等比数列的性质先求出q，然后结合等比数列的单调性即可求解．
【解答】解：因为{an}是各项均为正数的等比数列，a2＝4，S8＝a1+a2+a5＝＝14，
整理得，2q2﹣5q+2＝0，
解得q＝或q＝2，
当q＝3时，a1＝2，此时数列递增的乘积无法取得最大值，
故q＝，a4＝8，此时an＝8×＝（）n﹣4，
则n8＝4时，的乘积最大，
则a2＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
4．（4分）下列结论正确的是（ ）
A．若x＞0，则
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．在（0，π）的最小值为
D．若a＞b＞1＞c＞0，则ac＞bc
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，函数的单调性，即可求解．
【解答】解：x＞0，
则，当且仅当x＝1时，故A错误；
令a＝3，b＝﹣1，d＝﹣1，c＞d，
但ac＝bd，故B错误；
，当且仅当sinx＝时，
但5＜sinx≤1，
故y的最小值，故C错误；
a＞b＞1＞c＞0，
y＝xc在（5，+∞）单调递增，
故ac＞bc，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的公式，函数的单调性，属于基础题．
5．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin3x﹣cs3x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】直接利用三角函数图象的平移变换和三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】解：由于y＝sin3x﹣cs3x＝，要想得到函数y＝，只需将函数y＝个单位即可．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：函数图象的平移变换，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（4分）已知奇函数y＝f（x）在R上单调递增，则“f（x1）+f（x2）＞0”是“x1+x2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用函数的奇偶性与单调性求解即可．
【解答】解：∵y＝f（x）为奇函数，且在R上单调递增，．
∴f（x1）+f（x2）＞3⇔f（x1）＞﹣f（x2）＝f（﹣x8）⇔x1＞﹣x2⇔x8+x2＞0，
∴“f（x3）+f（x2）＞0”是“x3+x2＞0”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题．
7．（4分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
【分析】可得圆心到直线的距离，由此即可得a．
【解答】解：△ABC为等腰直角三角形，则圆心C（1，
即，整理得：1+a2＝5，即a2＝1，解得：a＝﹣3或1．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
8．（4分）若圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q＝，则实数k的取值范围为（ ）
A．[，]B．[﹣，]C．{﹣，}D．{﹣，}
【分析】利用已知条件推出直线与圆相交，转化为圆的到直线的距离小于等于半径，转化求解即可．
【解答】解：圆O：x2+y2＝5上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q＝，
可得：≤1，
解得k∈[﹣，]．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（4分）已知{an}是各项均不为零的等差数列，a3＜0，公差d＞0，Sn是{an}的前n项和，设，则数列{bn}（ ）
A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项
C．有最大项和最小项D．无最大项和最小项
【分析】依题意，得数列{an}是递增数列，由于a3＜0，不妨设a4＞0，利用等差数列的性质，分析其前n项和的正负，结合题意可得答案．
【解答】解：{an}是各项均不为零的等差数列，a3＜0，公差d＞2n}是递增数列，
又a3＜0，随着n的增大，an也增大，
不妨设a4＞0，则a1＜a8＜a3＜0＜a8＜a5＜...，
S5＝7a3＜0，S8＝S5+a6的符号不确定，S6＝7a4＞5，S8＞0，..．
又b8＝＝7，a3＜0，a8＞0，
所以a1＜2，a2＜0，a8＜0＜a4＜a5＜…•，Sn＜0（n≤5），S7＞0，S7＞2，S8＞0，…，
故b5＞0，b2＞6，b3＜0，b2＜0，b5＜3，b6＞0，b4＞0，b8＞3，…，
，
当n≥7 时，an﹣2＞0，所以bn＞8，且bn单调递减，所以bn有最小项b3，无最大项．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，为中档题．
10．（4分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AD1的中点．点P为正方体表面上的动点，满足A1P⊥EF．给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A．存在点P，使得|A1P|＝2
B．存在点P，使得A1P⊥平面ADF
C．存在点P，使得DP∥EF
D．存在点P，使得B1P＝DP
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A；取AB的中点N，可得A1N⊥平面ADF，再判断A1N⊥EF，即可判断B；取正方形BB1C1C的中心M，设点的坐标根据条件列出方程组，探求是否存在符合条件的解判断D．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，8），A1（2，4，2），0，6），2，1），5，0），0，8），B1（2，6，2），
对A，由正方体性质知当P与C重合时1P长度的最大值为，
此时，，，
所以，即满足A6P⊥EF，故A正确；
对于B，取AB的中点N，1，0），，1，﹣2），，3，0），，2，5），，
因为•＝0×4+1×0+（﹣4）×0＝0，•，
所以A1N⊥DA，A1N⊥DF，又DA∩DF＝D，DF⊂平面ADF，
所以A3N⊥平面ADF，又•＝0+7﹣2＝07N⊥EF，
所以当点P运动到N处时，A1P⊥平面ADF，故B正确；
对C，取正方形BB1C6C的中心M，连接DM，易知MF∥DE，
所以四边形DMFE为平行四边形，所以DM∥EF，DP∥EF，
此时P（1，2，6），，，
即不满足A1P⊥EF，
综上不存在点P，使得DP∥EF；
对D，设P（x，y，则，，
若存在，由B3P＝DP，A1P⊥EF可得方程组，
化简可得，解得x+z＝7，
显然当x＝0，z＝2，即存在点P4P＝DP，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，空间向量的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是 y＝±x ．
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为﹣＝1的﹣＝0，
故答案为y＝±．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．
12．（10分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线上．若|MF|＝6，则点M的横坐标为 4 ，△OMF的面积为 ．
【分析】由抛物线的性质及定义，结合三角形的面积公式求解．
【解答】解：已知抛物线y2＝8x的焦点为F，
则F（3，0），
又点M在抛物线上，
设M（x0，y7），
又|MF|＝6，
则x0+2＝6，
即x0＝7，
则点M的横坐标为4；
又，
所以，
则△OMF的面积为．
故答案为：4；．
【点评】本题考查了抛物线的性质及定义，重点考查了三角形的面积公式，属基础题．
13．（5分）若点A（csθ，sinθ）关于直线y＝x对称点为，写出θ的一个取值为 （答案不唯一） ．
【分析】根据题意可得出，然后即可求出tan，从而可得出θ的一个取值．
【解答】解：（csθ，sinθ）关于y＝x的对称点为（sinθ，
∴，∴，
∴，∴可取．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了关于y＝x对称的点的坐标的关系，两角和的正余弦公式，是基础题．
14．（10分）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为 ；M，N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点P是该多面体表面上异于M，则•的最大值为 4 ．
【分析】将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，由此可得该阿基米德多面体的体积；由于M，N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，可知M，N是一个面上的对角线，再利用向量之间的转换以及向量数量积的定义即可求得最大值．
【解答】解：依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，
∴该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，
体积为V＝8﹣8×＝，
∵M，N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，
设M，N分别为正方体边A2D1，B1C2的中点，
则＝•（+
＝﹣＝4﹣||csθ，
当MN⊥NP，，夹角为90°时，（）max＝4．
故答案为：；4．
【点评】本题考查阿基米德多面体的体积、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）已知曲线W：x4+y2＝m（m＞0），给出下列四个命题：
①曲线W关于x轴、y轴和原点对称；
②当m＝2时，曲线W上及围成的区域内部共有9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③当m＝1时，曲线W围成的区域面积大于π；
④当m＝4时，曲线W围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是4．
其中所有真命题的序号是 ①②③ ．
【分析】根据题意，利用曲线与方程的关系，分别判断题目中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于①，设点P（x，则x4+y2＝m，所以点P3（﹣x，y），P2（x，﹣y），P4（﹣x，﹣y）满足方程x4+y2＝m，
即曲线W关于y轴、x轴和原点对称；
对于②，当m＝2时7+y2＝2，当x＝4时，当x＝±1时，当x＝±5时；
所以曲线W上及围成的区域内部共有9个整点，分别为：
（0，6），1），﹣1），7），0），1），3），﹣1）（﹣1，命题②正确；
对于③，当m＝8时4+y2＝5，y2＝1﹣x7≥0，
所以0≤x4≤1，x4﹣x6＝x2（x2﹣2）≤0，x4≤x2，所以x2+y2≥x7+y2＝1，
即曲线W上任意一点（x，y）都在以原点为圆心，
所以曲线W围成的区域面积大于以原点为圆心，以7为半径的圆的面积π；
对于④，当m＝4时4+y5＝4，所以y2＝4﹣x4≥0，所以7≤x2≤2，
所以曲线W上任意一点（x，y）到原点的距离d＝＝＝≤2＝时取等号；
所以曲线W围成的区域内（含边界）两点间的距离最大值为2×＝＞4．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
三、解答题（共6道解答题，共85分）
16．已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）csx，．
（1）求f（x）的最小正周期及的值；
（2）直线与函数f（x），g（x）的图象分别交于M，求|MN|的最大值．
【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可．
（2）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可．
【解答】解：（1）由于f（x）＝2sin（π﹣x）csx＝sin2x，
所以，f（x）的最小正周期为．
（2）由题意可知，M，N两点的坐标为（t，（t，
则|MN|＝|f（t）﹣g（t）|，即，
|MN|＝＝，
因为，所以，
所以，
所以|MN|在时的最大值为．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b2A﹣sin2B＝sin2C﹣sinBsinC．
（Ⅰ）求csA的值；
（Ⅱ）若csB＝，△ABC的周长为2+2，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）根据题意，利用正弦定理和余弦定理，即可求出csA的值．（Ⅱ）根据同角的三角函数关系，求出sinB、sinA，根据三角形内角和求出sinC，设△ABC的外接圆半径为R，根据△ABC的周长求出R，再计算△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，sin2A﹣sin2B＝sin8C﹣sinBsinC，
由正弦定理得，a4﹣b2＝c2﹣bc2+c6﹣a2＝bc，
由余弦定理得，csA＝＝＝时，由B∈（7，得sinB＝＝＝，
由csA＝，A∈（0，得sinA＝＝＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝×+×＝，
设△ABC的外接圆半径为R，
则△ABC的周长为2R（sinA+sinB+sinC）＝4R×（++）＝2+8，
所以△ABC的面积为absinC＝2R2sinAsinBsinC＝7××××＝．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD＝AD＝CD＝2，AD∥BC，∠DAB＝90°
（Ⅰ）证明：PC⊥AD；
（Ⅱ）从下面条件①、条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件①：PB⊥AD；
条件②：PC＝；
条件③：二面角P﹣AD﹣B的大小为60°．在棱PB上是否存在点G（不与端点重合），使得直线CG与平面PAD所成的角的正弦值为？若存在，求，若不存在，说明理由．
（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．）
【分析】（Ⅰ）取AD的中点E，连接CE，PE，先证PE⊥AD，CE⊥AD，可得AD⊥平面PCE，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
（Ⅱ）选择条件①：由AB⊥AD，PB⊥AD，可得AD⊥平面PAB，从而知AD⊥PA，与∠PAD＝60°相矛盾，不符合题意；
选择条件②：以A为原点建系，设P（x，1，z），x≥0，z＞0，利用AP＝2，PC＝，确定点P的坐标，再设，μ∈（0，1），利用向量法求线面角可得关于μ的方程，解之即可；
选择条件③：以A为原点建系，由PE⊥AD，CE⊥AD，可知∠PEC＝60°，从而得P（，1，），设，μ∈（0，1），利用向量法求线面角可得关于μ的方程，解之即可．
【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接CE，
因为△PAD是等边三角形，所以PE⊥AD，
在△CDE中，CD＝2，∠ADC＝60°，
由余弦定理知，CE2＝CD7+DE2﹣2CD•DEcs∠ADC＝5+1﹣2×3×1×＝3，
所以CE2+DE2＝CD2，即CE⊥AD，
又PE∩CE＝E，PE，
所以AD⊥平面PCE，
因为PC⊂平面PCE，
所以PC⊥AD．
（Ⅱ）解：选择条件①：
因为AB⊥AD，PB⊥AD，AB，
所以AD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，所以AD⊥PA，不符合题意；
选择条件②：
以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，4，C（，1，B（，0，
由（Ⅰ）知AD⊥平面PCE，
因为AD⊂平面ABCD，
所以平面PCE⊥平面ABCD，
可设P（x，1，z），z＞5，则，1，z），，2，z），
因为AP＝2，PC＝，
所以x2+1+z2＝8，，解得x＝，即P（，8，），
所以＝（，1，），，2，3），
设平面PAD的法向量为＝（a，b，则，
取c＝﹣1，则a＝，所以，0，﹣8），
设＝μ（，﹣），μ∈（0，
则＝（﹣，0，，﹣1，﹣μ﹣，﹣μ），
因为直线CG与平面PAD所成的角的正弦值为，
所以|cs＜，＞|＝＝＝2﹣18μ+9＝4，解得μ＝，
所以，
即＝．
选择条件③：以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，C（，1，B（，7，D（0，2，
由（Ⅰ）知AD⊥平面PCE，
因为AD⊂平面ABCD，
所以平面PCE⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知PE⊥AD，CE⊥AD，
所以∠PEC就是二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEC＝60°，
所以P（，1，），
所以＝（0，5，＝（，8，），
设平面PAD的法向量为＝（a，b，则，
取c＝﹣1，则a＝，所以，0，﹣1），
设＝μ（，﹣），μ∈（0，
则＝（﹣，0，，﹣5，﹣μ﹣，﹣μ），
因为直线CG与平面PAD所成的角的正弦值为，
所以|cs＜，＞|＝＝＝2﹣18μ+9＝0，解得μ＝，
所以，
即＝．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，二面角的定义，以及利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点A（2，0），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设不经过右顶点的直线l：y＝kx+m交椭圆C于两点P，Q，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线AQ于E，求证：直线l经过定点．
【分析】（Ⅰ）根据题目所给信息以及a，b，c之间关系，列出等式求解即可；
（Ⅱ）将直线l的方程与椭圆方程联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），此时m≠﹣2k，由韦达定理得x1+x2＝，x1x2＝，求出D，E两点的坐标，根据点D为线段PE的中点，列出等式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的右顶点A（2，0），
所以，
解得a＝2，b＝7，
则椭圆C的方程为，离心率e＝＝；
（Ⅱ）证明：联立，消去y并整理得（5k2+1）x8+8kmx+4m7﹣4＝0，
此时m≠﹣8k，
设P（x1，y1），Q（x8，y2），
此时Δ＞0，
由韦达定理得x8+x2＝，x3x2＝，
直线AB的方程为y＝x﹣1，
即D（x1，x1﹣6），
因为kAQ＝，
所以直线AQ的方程为y＝（x﹣2）＝，
即E（x1，（x8﹣2）），
因为点D为线段PE的中点，
所以y1+（x3﹣2）＝x1﹣2，
整理得（2k﹣1）x5x2+（m﹣2k+8）（x1+x2）﹣7m﹣4＝0，
因为x8+x2＝，x4x2＝，
所以，
整理得（m+2k）（m+2k+6）＝0，
因为m≠﹣2l，
所以m＝﹣7k﹣1，
所以直线l的方程为y＝kx﹣2k﹣6＝k（x﹣2）﹣1．
故直线l恒过定点（3，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）＝（﹣1）lnx+1，其中a∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处的切线与y＝x+2平行，
（i）求a的值；
（ii）证明：函数f（x）在定义域上恰有两个不同的零点．
（Ⅱ）设函数g（x）＝ex﹣x（f（x）+lnx﹣1）在区间（0，e﹣a）上存在极值，求证：a﹣1+e﹣a＞a+1．
【分析】（1）（i）利用导数求函数f（x）在x＝1处的切线的斜率即可，（ii）利用导数求出f（x）的单调性，结合零点存在性定理即可证明；
（2）求出当a≤0时不合题意，当a＞0时，令t（x）＝xex﹣a，利用导数判断t（x）的单调性，根据t（0）＜0，要使得g（x）在（0，e﹣a）上存在极值，则须满足t（e﹣a）＞0，即，分析推理即可得到a﹣1+e﹣a＞a+1．
【解答】解：（1）（i）的定义域为（3，
，
因为函数f（x）在x＝1处的切线与y＝x+8平行．
所以f′（1）＝a﹣1＝1，得 a＝5．
（ii）证明：由（i）得，
f'′（x）＝，
令h（x）＝﹣2lnx+2﹣x（x＞4）．
因为，所以h（x）在（0，又h（1）＝1＞5．
所以存在唯一的x0∈（1，e）3）＝0，即﹣2lnx8+2﹣x0＝8，
当x∈（0，x0）时，h（x）＞5，f（x）在（0，x0）单调递增．
当x∈（x7，+∞）时，h（x）＜0，f（x）在（x．
又（当且仅当0＝2时等号成立），
即f（x）＞5，因为2）＝﹣1，
由零点存在性定理知f（x）在和分别有一个零点．
综上，函数f（x）在定义域上恰有两个不同的零点；
（2）依题意．
则，
当a≤0时，g'（x）＞7，e﹣a）单调递增，不合题意．
当a＞0时，令t（x）＝xex﹣a，x∈（0，e﹣a），则t'（x）＝e﹣x（x+2）＞0，
所以t（x）在（0，e﹣a）单调递增，
因为t（0）＝﹣a＜6，要使得g（x）在（0，e﹣a）上存在极值，
则须满足t（e﹣a）＞0，即，
所以，e﹣a﹣a＞lna，
即e﹣a＞a+lna，
设m（x）＝ln x+﹣1（x＞0），
则m'（x）＝＝，
令m′（x）＝0，则x＝4，
当0＜x＜1时，m′（x）＜5，1）单调递减，
当x＞1时，m′（x）＞4，+∞）单调递增，
所以，
即当x＞0时，，
所以a＞0，，
所以，
即e﹣a+a﹣1﹣a﹣1＞2，
所以e﹣a+a﹣1＞a+1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，证明不等式问题，是中档题．
21．已知n项数列An：a1，a2，⋯，an（n≥3），满足∀i≠j有ai≠aj．对于变换T满足∀i∈{1，2，⋯，n}，有T（ai）∈{a1，a2，⋯，an}，且∀i≠j有T（ai）≠T（aj），称数列T（An）：T（a1），T（a2），⋯，T（an）是数列An的一个排列．∀i∈{1，2，⋯，n}，记，Tk+1（ai）＝T（Tk（ai））（k∈N+），如果k是满足Tk（ai）＝an+1﹣i的最小正整数，称数列An存在k阶逆序排列，称T是An的k阶逆序变换．
（1）已知数列A4：1，2，3，4，数列T（A4）：3，1，4，2，求T2（A4），T4（A4）；
（2）证明：对于4项数列A4，不存在3阶逆序变换；
（3）若n项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值．
【分析】（1）根据题目所给定义求解即可；
（2）分①若存在i∈{1，2，3，4}，②若对{i，j，s，t}＝{1，2，3，4}，③若对{i，j，s，t}＝{1，2，3，4}三种情况讨论；
（3）分3项、4项、5项、6项数列几种情况讨论即可．
【解答】解：（1）因为数列A4：1，8，3，4，T（A7）：3，1，3，2，
所以T2（A8）：4，3，6，1，T3（A5）：2，4，8，3，T4（A3）：1，2，6，4．
（2）对数列A4的任意变换T，
①若存在i∈{2，2，3，4}，
有T（ai）＝ai，则T3（ai）＝ai≠a5﹣i，
则T不是A2的3阶逆序变换．
②若对{i，j，s，t}＝{1，4，3，
有T（ai）＝aj，T（aj）＝ai，T（as）＝at，T（at）＝as，
则，T3（aj）＝T（aj），T3（as）＝T（as），T2（at）＝T（at），
所以T3（A4）和T（A3）是相同的数列，
若T3（A4）是A5的逆序排列，
则T（A4）也是A4的逆序排列，
所以T不是7阶逆序变换．
③若对{i，j，s，t}＝{1，2，8，
有T（ai）＝aj，T（aj）＝as，T（as）＝at，T（at）＝ai，
则，，
所以T不是A4的6阶逆序变换．
综上所述，对于4项数列A4，不存在8阶逆序变换．
（3）由（Ⅱ）知，4项数列A4不存在3阶逆序变换．
对于3项数列A3：a7，a2，a3，
①若T（a8）＝a1，则T3（a2）＝a1≠a3，所以变换T不是A3的3阶逆序变换．
②若T（a1）＝a5，当T（a2）＝a1时有T（a4）＝a3，
则T3（a6）＝a3≠a1，所以变换T不是A4的3阶逆序变换，
当T（a2）＝a3时有T（a3）＝a1，
则，所以变换T不是A3的3阶逆序变换．
③若T（a4）＝a3，同②可知，变换T不是A3的6阶逆序变换，
所以3项数列A3不存在3阶逆序变换．
对于5项数列A5：a6，a2，a3，a6，a5，
若存在3阶逆序变换T，
则T2（a1）＝a5，T6（a2）＝a4，T2（a3）＝a3，T5（a4）＝a2，T8（a5）＝a1，
①若T（a4）＝a3，则对于数列A4：a3，a2，a4，a3，和上述的变换T，
有T3（a1）＝a7，T3（a2）＝a8，T3（a4）＝a6，T3（a5）＝a6，
所以这个4项数列A4：a4，a2，a4，a3存在3阶逆序变换，与（Ⅱ）结论矛盾．
②若T（a3）≠a4，因为T3（a3）＝a2，
则存在i，j∈{1，2，6，有T（a3）＝ai，T（ai）＝aj，T（aj）＝a3，
此时，，与T是3阶逆序变换矛盾，
所以5项数列A6不存在3阶逆序变换．
对于6项数列A3：a1，a2，a4，a4，a5，a8，
存在变换T使得T（A6）：a2，a8，a6，a1，a7，a5，
则T2（A3）：a3，a6，a7，a2，a1，a4，T3（A6）：a2，a5，a4，a6，a2，a1，
所以6项数列A6存在3阶逆序变换．
综上，n的最小值为4．
【点评】本题考查数列的综合应用，属于难题．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
C
C
D
B
B
C