2026届北京师大附属实验中学高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届北京师大附属实验中学高三最后一模数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知，则，祖暅原理等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合A={x|x0)，且，若恒成立，则m的最大值________．
15．已知，若，则a的取值范围是______．
16．已知向量，，且，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
19．（12分）已知函数
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个不同实根，，证明：．
20．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
21．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.
（1）请用角表示清洁棒的长；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
22．（10分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
2、A
【解析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，
所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，
当直线和直线互相垂直时，，解得.
所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.
：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．
当时，没有零点，
所以命题是假命题．
所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．
故选：．
【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3、D
【解析】
设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.
【详解】
，由得，整理得，
，解得，
因此，向量在向量方向上的投影为.
故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
4、A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴，
故选A
5、D
【解析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
6、D
【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，
又，，为三角形的三边长，且最大内角为，
由余弦定理得，设首项为，
即得，
所以或，又即,舍去，，d=-2
前项和.
故的最大值为.
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
7、A
【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．
【详解】
，；
；
故选：．
【点睛】
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．
8、A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
9、A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
10、B
【解析】
，选B.
11、A
【解析】
由奇函数定义求出和．
【详解】
因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
12、C
【解析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.
【详解】
由于等差数列满足，所以，，.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.
【详解】
因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.
时符合题意.
时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.
14、
【解析】
在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．
【详解】
不等式两边同时取对数得，
即x2lnx1＜x1lnx2，又
即成立，
设f（x）＝，x∈（0，m），
∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，
函数的导数，
由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，
得0＜x＜e，
即函数f（x）的最大增区间为（0，e），
则m的最大值为e
故答案为：e
【点睛】
本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键
15、
【解析】
函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
，等价为，
且时，递增，时，递增，
且，在处函数连续，
可得在R上递增，
即为，可得，解得，
即a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16、
【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】
，且，则，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．
取中点，连，，则，，
则平面，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
取
面的法向量取，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为
【解析】
（1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定.
【详解】
（1）证明：因为，，，
所以，即.
又因为，，所以，
，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为，是的中点，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则平面的一个法向量是，，，.
设，，
，，
代入上式得，，，所以.
设平面的一个法向量为，，，
由，得.
令，得.
因为二面角的平面角的大小为，
所以，即，解得.
所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.
19、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）将原不等式转化为，构造函数，求得的最大值即可；
（2）首先通过求导判断的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数，将问题转化为证明，探究在区间内的最大值即可得证．
【详解】
解：（1）由，即，
即，
令，则只需，
，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
的取值范围是；
（2）证明：不妨设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，当时，，
，
要证，即证，
由在上单调递增，
只需证明，
由，只需证明，
令，，
只需证明，
易知，
由，故，
，
从而在上单调递增，
由，故当时，，
故，证毕．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．
20、（1）；（2）；（3）存在，1.
【解析】
（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】
（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；
（2）利用导数求得最大值即可.
【详解】
（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，
，所以，同理，
.
（2）设，
则，
令，则，即.
设，且，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以当时，取得极小值，
所以.
因为，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以，
所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.
【点睛】
本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
22、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2