2026届北师大学附中高三（最后冲刺）数学试卷含解析

这是一份2026届北师大学附中高三（最后冲刺）数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了已知抛物线，求实数a，k的值等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A．的图像关于点中心对称B．既是奇函数，又是周期函数
C．的图像关于直线对称D．的最大值是
3．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
4．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
5．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．已知角的终边经过点P()，则sin()=
A．B．C．D．
7．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A．B．C．D．
9．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
11． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
12．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.
14．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.
15．若满足约束条件，则的最大值为__________．
16．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
18．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝，
A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
20．（12分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第代的遗传设想为第次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状，(或)，在父系和母系中以同样的比例：出现，则在随机杂交实验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是．称，分别为父系和母系中遗传因子和的频率，实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是，后代遗传性状为，(或)，的概率各是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为和(或)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，．求杂交所得子代的三种遗传性状，(或)，所占的比例．
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为的个体假设得到的第代总体中3种遗传性状，(或)，所占比例分别为．设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式．证明是等差数列．
（4）求的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.
（Ⅰ）证明:平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
22．（10分）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
2、D
【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果．
【详解】
解：，正确；
，为奇函数，周期函数，正确；
，正确；
D： ，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；
且，，，故D错误．
故选：．
【点睛】
本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．
3、A
【解析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且 ①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
4、C
【解析】
由,再运用三点共线时和最小，即可求解.
【详解】
.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．
5、C
【解析】
根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
6、A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：
本题选择A选项.
7、C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
8、C
【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况，
2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为.
故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.
【详解】
当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，
当时，，令
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为在上有3个零点，
所以当时，有2个零点，
如图所示：
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
10、C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；
对于，由，知：，又，，正确；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
11、C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
12、C
【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.
【详解】
，，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，不满足条件，
输出.
故选：C
【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
，椭圆的方程为，
的离心率为：，
双曲线方程为，
的离心率：，
与的离心率之积为，
，
，
的渐近线方程为：，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.
14、
【解析】
取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．
【详解】
如图：
设，又，
且存在实数使得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
15、4
【解析】
作出可行域如图所示：
由，解得.
目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.
16、
【解析】
由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．
【详解】
若方程无解，
则或恒成立，所以为上的单调函数，
都有，
则为定值，
设，则，易知为上的增函数，
，
，
又与的单调性相同，
在上单调递增，则当，，恒成立，
当，时，，，，，
，
此时，
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴
在中， ,故// .
又平面, 平面,∴ 平面.
方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心，
又ABCD为梯形，AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由（1）知//平面，∴
又由梯形ABCD，AB||CD，且，知
又为正三角形，得，∴，
得
∴三棱锥的体积为.
方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由，∴
而又为正三角形，得，得.
∴，
∴三棱锥的体积为.
19、解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则 ＝λ，即
因为k≠0，所以a＝2． 5分
因为，所以A＝，即＝，
所以2＋k＝3，解得 k＝2．综上，a＝2，k＝2． 20分
【解析】
试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k
考点：特征向量, 逆矩阵
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．
20、（1），(或)，的概率分别是，，．（2）（3）答案见解析（4）答案见解析
【解析】
（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（3）由（2）知，求出、，利用等差数列的定义即可证出.
（4）利用等差数列的通项公式可得，从而可得，再由，利用式子的特征可得越来越小，进而得出结论.
【详解】
（1）即与是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，
故出现的概率是，或出现的概率是，
出现的概率是
所以：，(或)，的概率分别是，，
（2）
（3）由（2）知
于是
∴是等差数列，公差为1
（4）
其中，(由（2）的结论得)
所以
于是，
很明显，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，
越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失．
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式、等差数列的定义、等差数列的通项公式，考查了学生的分析能力，属于中档题，
21、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ) 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；
(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.
【详解】
(Ⅰ)证：由已知得
又 平面，平面，，
而故，平面
平面，平面平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，
有，又，故
所以相似，故有，即
所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，设平面的法向量为，则
令，则，是平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
令，则
是平面的一个法向量
=
又二面角为钝二面角，其余弦值为.
【点睛】
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
22、（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：
；（2）.
【解析】
（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；
（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）
的最小正周期为：；
当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；
（2）因为，所以
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.
【点睛】
本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.