2026年【中考数学】第一轮专题练习：一次函数 [含答案]

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1．（2025•西乡塘区一模）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2025•永寿县校级模拟）已知一次函数y＝﹣x+a与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，b），则a的值为（ ）
A．1B．32C．4D．6
3．（2025•张掖模拟）有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点．甲：y随x的增大而减小；乙：当x＜2时，y＞0．满足甲、乙两位同学描述的一次函数表达式为（ ）
A．y＝x﹣2B．y＝﹣x﹣2C．y＝﹣x+2D．y＝﹣2x+2
4．（2025•日照一模）已知一次函数y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025•盐山县校级模拟）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点B；
④图中点Q的坐标为（23，50）．
则下列结论正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
6．（2025•东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025•镇平县模拟）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图②．（提示：当石块位于水面上方时F拉力＝F重力，当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）．则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降4cm时，石块在水里
B．当6≤x≤10时，F（N）与x（cm）之间的函数关系式为F拉力=−38x+234
C．石块下降8cm时，石块所受的浮力是1.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水底223cm
8．（2025•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣3的图象向左平移1个单位长度，所得图象是一个正比例函数图象，则一次函数y＝mx﹣3的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，0）
9．（2025•利通区校级二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下结论错误的是（ ）
A．由图象可知b＜n
B．方程组y−ax=by−mx=n的解为x=−3y=2
C．方程mx+n＝0的解为x＝2
D．当x＞﹣3时ax+b＞mx+n．
二．填空题（共7小题）
10．（2025•红桥区一模）若一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是 ．（写出一个即可）．
11．（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表：
请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为 ℉．
12．（2025•双流区模拟）若点A（x1，1），B（x2，4）在一次函数y＝﹣3x﹣2的图象上，则x1 x2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．（2025•聊城一模）如图，直线y＝ax+2与y＝3x+b相交于点p，则关于x，y的方程组3x−y=−bax−y=−2的解为 ．
14．（2025•金凤区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC＝13，把△ABC放在平面直角坐标系中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y＝﹣x+8上时，△ABC平移的距离为 ．
15．（2025•怀仁市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点O在原点上，顶点B在x轴正半轴上，直线BC的解析式为y=43x−203，则该菱形的边长为 ．
16．（2025•临平区模拟）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．点Q为y轴上一点，连接QM，QA，当△QMA的周长最小时，点Q的坐标为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2025•秦都区一模）公交是一种绿色的出行方式，今年某县开通环保电动公交车．公交车在每天发车前需先将蓄电池充满、然后立即开始不间断运行．为保障行车安全，当蓄电池电量低于20kW•h时，需停止运行．在充电和运行过程中，蓄电池的电量y（单位：kW•h）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求公交车运行时，y关于x的函数解析式；（不需要写出x的取值范围）
（2）当蓄电池电量为20kW•h时，求公交车运行了多长时间．
18．（2025•河南模拟）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？
19．（2025•武安市二模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作，剩余电量y（%）与行驶时间x（分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电，且当剩余电量≤10%时停止行驶，等待充电．
（1）求剩余电量y与行驶时间x的函数关系式（无需写自变量的取值范围）
（2）若某次配送需要50分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由．
（3）为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低20%．
①写出优化后的剩余电量y与行驶时间x的函数关系式；
②计算优化后的单次最远行驶时间．
20．（2025•松原模拟）如图①，平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线y=−12x﹣2交于点C．直线y=−12x﹣2与y轴交于点D．
（1）求点C，点D的坐标；
（2）如图②，P为直线BC上的一个动点，当S△PBD=14S△CBD，求点P坐标；
（3）如图③，P为线段BC上的一个动点，点C关于直线DP的对称点为C′，当C′恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标．
21．（2025•前进区校级二模）如图，矩形AOCB的边OA、OC的长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OC＞OA），折叠矩形AOCB，使AB边落在x轴上，点B与点E重合．
（1）求折痕AD所在直线解析式．
（2）将直线AD沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线AD扫过矩形EODF的面积S与运动的时间t（0≤t≤4）的关系式．
（3）点P是直线AD上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由．
22．（2025•磁县校级三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积y（单位：ml且y＞0）与温度x（单位：℃）满足一次函数关系．嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线y=313x+63上，淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据（虚线AB上的点）如图所示．
（1）求直线AB的解析式．
（2）嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确．（3）淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值．
2026年中考数学：一次函数
答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
一．选择题（共9小题）
1．（2025•西乡塘区一模）已知一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：∵图象和y轴的交点坐标是（0，﹣1），且y随x的增大而增大，
∴图象过第一、三、四象限，
∴点P不可能在第二象限．
故选：B．
2．（2025•永寿县校级模拟）已知一次函数y＝﹣x+a与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，b），则a的值为（ ）
A．1B．32C．4D．6
解：由题知，把A（2，b）代入y＝x，
解得b＝2，
∴A（2，2），
代入y＝﹣x+a得，2＝﹣2+a，
∴a＝4．
故选：C．
3．（2025•张掖模拟）有一个一次函数的图象，甲、乙两位同学分别说出了它的一些特点．甲：y随x的增大而减小；乙：当x＜2时，y＞0．满足甲、乙两位同学描述的一次函数表达式为（ ）
A．y＝x﹣2B．y＝﹣x﹣2C．y＝﹣x+2D．y＝﹣2x+2
解：设此函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵当x＜2时，y＞0；
∴一次函数图象过点（2，0），
如图，
∴满足题意的一次函数解析式为：y＝﹣x+2．
故选：C．
4．（2025•日照一模）已知一次函数y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据函数图象可知，当x＜﹣1时，一次函数y＝﹣x+2的图象在y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象的下方，
∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞mx+n，即不等式﹣x+2＞mx+n的解集为x＜﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
5．（2025•盐山县校级模拟）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点B；
④图中点Q的坐标为（23，50）．
则下列结论正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
解：乙每分钟比甲多走150÷（18﹣3）＝10（米），
∴①正确，符合题意；
乙用18﹣3＝15（分钟）追上了甲，
∴②不正确，不符合题意；
甲的速度为150÷3＝50（米/分钟），则甲到达B地所用时间为1200÷50＝24（分钟），
乙的速度为50+10＝60（米/分钟），则乙到达B地所用时间为1200÷60＝20（分钟），
∴当x＝20+3＝23时乙到达B地，
∴乙比甲早24﹣23＝1（分钟）到达终点B，
∴③正确，符合题意；
由③可知，点Q的横坐标为23，
甲出发后23分钟距A地50×23＝1150（米），则当x＝23时，甲、乙两人之间的距离为1200﹣1150＝50（米），
∴点Q的纵坐标为（23，50），
∴④正确，符合题意．
综上，①③④正确．
故选：C．
6．（2025•东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：当a＜0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意；
当a＞0时，函数y＝ax是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数y＝x+a是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项；
故选：C．
7．（2025•镇平县模拟）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图②．（提示：当石块位于水面上方时F拉力＝F重力，当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）．则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降4cm时，石块在水里
B．当6≤x≤10时，F（N）与x（cm）之间的函数关系式为F拉力=−38x+234
C．石块下降8cm时，石块所受的浮力是1.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水底223cm
解：A．由题图可知，石块下降到6cm时，石块正好接触水面，
故选项A说法错误，不符合题意；
B．当6≤x≤10时，设AB所在直线的函数表达式为：F拉力＝kx+b（k≠0），
则4=6k+b2.5=10k+b，
解得k=−38b=254，
∴F拉力=−38x+254，
故选项B说法错误，不符合题意；
C．当石块下降的高度为8cm时，即x＝8时，
F拉力=−38×8+254=134（N），
此时石块所受浮力是4−134=34（N），
故选项C说法错误，不符合题意；
D．当弹簧测力计的示数为3N时，
−38x+254=3，
解得x=263，
∴石块距离水底的距离为16−263=223（cm），
故选项D说法正确，符合题意．
故选：D．
8．（2025•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣3的图象向左平移1个单位长度，所得图象是一个正比例函数图象，则一次函数y＝mx﹣3的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，0）
解：将一次函数y＝mx﹣3的图象向左平移1个单位长度后的解析式为y＝m（x+1）﹣3，
∵函数图象平移后经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，即m﹣3＝0，
解得m＝3，
∴一次函数y＝mx﹣3的解析式为y＝3x﹣3，
当y＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1，
∴一次函数y＝mx﹣3的图象与x轴的交点坐标为（1，0）．
故选：D．
9．（2025•利通区校级二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）与y＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下结论错误的是（ ）
A．由图象可知b＜n
B．方程组y−ax=by−mx=n的解为x=−3y=2
C．方程mx+n＝0的解为x＝2
D．当x＞﹣3时ax+b＞mx+n．
解：因为直线y＝mx+n与y轴交点的位置在直线y＝ax+b与y轴交点的上方，所以n＞b；
则A正确，不符合题意；
因为直线y＝mx+n与直线y＝ax+b的交点坐标是（﹣3，2），
所以方程y−ax=by−mx=n的解是x=−3y=2，
则B正确，不符合题意；
因为直线与x轴交点的坐标是（2，0），
所以方程mx+n＝0的解是x＝2，
则C正确，不符合题意；
因为从交点向左时直线y＝ax+b在直线y＝mx+n的上方，
所以当x＜﹣3时，ax+b＞mx+n，
则D不正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共7小题）
10．（2025•红桥区一模）若一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是 2 ．（写出一个即可）．
解：因为一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，
所以k＞0，﹣1＜0，
所以k可以取2，
故2
11．（2025•定海区一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如表：
请推算当摄氏温度为35℃时，华氏温度为 95 ℉．
解：由题意可得．x每增加10℃，y增加18℉，是一个均匀变化的过程，所以函数为一次函数，
设y＝kx+b．
将（0，32）（10，50）代入解析式可得：
32=b50=10k+b，
解得：k=1.8b=32．
∴y＝1.8x+32，
当x＝35°时，y＝1.8×35+32＝95，
故95．
12．（2025•双流区模拟）若点A（x1，1），B（x2，4）在一次函数y＝﹣3x﹣2的图象上，则x1 ＞ x2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
解：∵一次函数y＝﹣3x﹣2的k＝﹣3＜0，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵1＜4，
∴x1＞x2．
故＞．
13．（2025•聊城一模）如图，直线y＝ax+2与y＝3x+b相交于点p，则关于x，y的方程组3x−y=−bax−y=−2的解为 x=2y=1 ．
解：由图可知直线y＝ax+2与x轴的交点为（4，0），
把（4，0）代入y＝ax+2中，得到0＝4a+2，解得a=−12．
由图可知点P的横坐标为2，把x＝2代入y=−12x+2中，
得y＝1，
即关于x，y的方程组3x−y=−bax−y=−2的解为x=2y=1．
故x=2y=1．
14．（2025•金凤区模拟）如图，△ABC中，AC＝BC＝13，把△ABC放在平面直角坐标系中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线y＝﹣x+8上时，△ABC平移的距离为 11 ．
解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．
由条件可知AD＝BD=12AB＝5，
∴CD=AC2−AD2=12．
∴点C的坐标为（7，12）．
当y＝12时，有12＝﹣x+8，
解得：x＝﹣4，
∴点C平移后的坐标为（﹣4，12）．
∴△ABC沿x轴向左平移7﹣（﹣4）＝11个单位长度．
故11．
15．（2025•怀仁市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点O在原点上，顶点B在x轴正半轴上，直线BC的解析式为y=43x−203，则该菱形的边长为 5 ．
解：由条件可得B（5，0），即OB＝5，
∴菱形的边长为5．
故5．
16．（2025•临平区模拟）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段AB的中点．点Q为y轴上一点，连接QM，QA，当△QMA的周长最小时，点Q的坐标为 （0，43） ．
解：将y＝0代入y＝2x+4得，
2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
所以点A坐标为（﹣2，0）．
同理可得，点B坐标为（0，4）．
因为点M为线段AB的中点，
所以点M坐标为（﹣1，2）．
过点A作y轴的对称点N，
则点N的坐标为（2，0）．
连接MN，
则当点Q在MN与y轴的交点处时△QMA取得周长最小，
设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，
则−k+b=22k+b=0，
解得k=−23b=43，
所以直线MN的函数解析式为y=−23x+43．
将x＝0代入y=−23x+43得，
y=43，
所以点Q的坐标为（0，43）．
故（0，43）．
三．解答题（共6小题）
17．（2025•秦都区一模）公交是一种绿色的出行方式，今年某县开通环保电动公交车．公交车在每天发车前需先将蓄电池充满、然后立即开始不间断运行．为保障行车安全，当蓄电池电量低于20kW•h时，需停止运行．在充电和运行过程中，蓄电池的电量y（单位：kW•h）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示．
（1）求公交车运行时，y关于x的函数解析式；（不需要写出x的取值范围）
（2）当蓄电池电量为20kW•h时，求公交车运行了多长时间．
解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（5，200）和（16，35）分别代入y＝kx+b，
得5k+b=20016k+b=35，
解得k=−15b=275，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣15x+275．
（2）当y＝20时，得﹣15x+275＝20，
解得x＝17，
17﹣5＝12（h）．
答：当蓄电池电量为20kW•h时，公交车运行了12h．
18．（2025•河南模拟）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？
解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元．
则有2x+y=64x+4y=88
解得x=24y=16．
答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元．
（2）设花费w元，购买B种奖品（60﹣a）个．
∵a＞2（60﹣a），
∴a＞40．
w＝24a+16（60﹣a）＝8a+960．
∵8＞0，
∴w随a的增大而增大．
由题知a为正整数，
∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为8×41+960＝1288（元）．
60﹣a＝19．
答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元．
19．（2025•武安市二模）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作，剩余电量y（%）与行驶时间x（分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电，且当剩余电量≤10%时停止行驶，等待充电．
（1）求剩余电量y与行驶时间x的函数关系式（无需写自变量的取值范围）
（2）若某次配送需要50分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由．
（3）为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低20%．
①写出优化后的剩余电量y与行驶时间x的函数关系式；
②计算优化后的单次最远行驶时间．
解：（1）该智能配送机器人每分钟的耗电量为（100﹣60）÷40＝1，
∴剩余电量y与行驶时间x的函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）该机器人不需要中途充电．理由如下：
当x＝50时，y＝﹣50+100＝50，
∵50%＞10%，
∴该机器人不需要中途充电．
（3）①优化后，该智能配送机器人的耗电速度为1×（1﹣20%）＝0.8，
∴写出优化后的剩余电量y与行驶时间x的函数关系式为y＝﹣0.8x+100．
②根据题意，得﹣0.8x+100≥10，
解得x≤11.25，
∴优化后的单次最远行驶时间112.5分钟．
20．（2025•松原模拟）如图①，平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线y=−12x﹣2交于点C．直线y=−12x﹣2与y轴交于点D．
（1）求点C，点D的坐标；
（2）如图②，P为直线BC上的一个动点，当S△PBD=14S△CBD，求点P坐标；
（3）如图③，P为线段BC上的一个动点，点C关于直线DP的对称点为C′，当C′恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标．
解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与直线y=−12x﹣2交于点C，
联立得：y=−2x+4y=−12x−2，
解得：x=4y=−4，
∴C（4，﹣4），
∵直线y=−12x﹣2与y轴交于点D．
当x＝0时，得：y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）；
（2）∵直线y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，
当x＝0时，得：y＝4，
∴B（0，4），
∵C（4，﹣4），D（0，﹣2），
∴BD＝6，
∴S△BCD=12×6×4＝12，
设P（m，﹣2m+4），
∴S△PBD=12×6×|m|=14S△BCD＝3，
∴|m|＝1，
∴m＝1或﹣1，
∴P（1，2）或P（﹣1，6）；
（3）点P的坐标为P（3，﹣2）或P(32，1)．理由如下：
如图③，
设C′（n，0），
∵点C关于直线DP的对称点为C′，
∴CD＝C′D，
∵C（4，﹣4），D（0，﹣2），
∴n2+4＝42+（4﹣2）2，
解得：n＝±4，
∴C′（4，0）或C′（﹣4，0），
当C′（4，0）时，C，C′的中点坐标为（4，﹣2），
∵D（0，﹣2），
∴DP∥x轴，
∴yP＝﹣2，
此时﹣2x+4＝﹣2，
解得：x＝3，
∴P（3，﹣2），
当C′（﹣4，0）时，C，C′的中点坐标为：（0，﹣2），即为D点，
设直线DP与x轴交于点E（a，0），则EC＝EC′，
∴（a+4）2＝（4﹣a）2+42，
解得：a＝1，
∴E（1，0），
设直线DE的解析式为：y＝cx﹣2，把E（1，0）代入得：
0＝c﹣2，
解得：c＝2，
∴y＝2x﹣2，
联立得：y=−2x+4y=2x−2，
解得：x=32y=1，
∴P(32，1)．
综上所述，点P的坐标为P（3，﹣2）或P(32，1)．
21．（2025•前进区校级二模）如图，矩形AOCB的边OA、OC的长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OC＞OA），折叠矩形AOCB，使AB边落在x轴上，点B与点E重合．
（1）求折痕AD所在直线解析式．
（2）将直线AD沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线AD扫过矩形EODF的面积S与运动的时间t（0≤t≤4）的关系式．
（3）点P是直线AD上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由．
解：（1）当y＝0时，x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA、OC的长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OC＞OA），
∴OC＝4，OA＝3，
由折叠可知，BC＝EF＝OD＝3，
∴D（0，3），A（3，0），
设直线AD的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AD的直线解析式为y＝﹣x+3；
（2）当0≤t≤1时，直线AD扫过矩形EODF的区域为等腰直角三角形，故S=12t2；
当1＜t≤3时，直线AD扫过矩形EODF的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故S=12×1×1+(t−1)×1=t−12；
当3＜t≤4时，直线AD扫过矩形EODF的区域面积为矩形EODF的面积减去底部未扫过三角形的面积，即S=1×3−12(4−t)2=−12t2+4t−5；
综上，直线AD扫过矩形EODF的面积S与运动的时间t的关系式为S=12t2，0≤t≤1t−12，1＜t≤3−12t2+4t−5，3＜t≤4；
（3）当AB⊥BP时，P（﹣1，4），此时BP＝AB＝4，
∴M（﹣1，0）；
当BP⊥AD时，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴P（1，2），
∴M点与P点关于AB对称，
∴M（5，2）；
综上所述：M（﹣1，0）或M（5，2）．
22．（2025•磁县校级三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积y（单位：ml且y＞0）与温度x（单位：℃）满足一次函数关系．嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线y=313x+63上，淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据（虚线AB上的点）如图所示．
（1）求直线AB的解析式．
（2）嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确．（3）淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）．
将A（70，49）和B（0，39）分别代入y＝ax+b，
得70a+b=49b=39，
解得a=17b=39，
∴直线AB的解析式为y=17x+39．
（2）根据题意，得313x+63＝2（17x+39），
解得x＝﹣273，
当x＝﹣273时，y=313x+63=313×（﹣273）+63＝0，y=17x+39=17×（﹣273）+39＝0，与已知的气体的体积y＞0矛盾，
∴不存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍，
∴嘉嘉的说法不正确．
（3）根据题意，得313x+63＝k（17x+39），
经整理，得（313−k7）x＝39k﹣63，
∵k与x无关，
∴313−k7=0，
∴k=2113．
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
C
C
C
C
C
D
D
D
摄氏温度值x/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值y/℉
32
50
68
86
104
122