2026届北京市第66中学高考数学三模试卷含解析

这是一份2026届北京市第66中学高考数学三模试卷含解析，共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
2．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )
A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
5．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件
6．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
7．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
9．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
10．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
14．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．
15．已知，，则与的夹角为 .
16．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.
18．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
19．（12分）已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：（，且）.
20．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：
现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：
假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：
（1）估计1位会员至少消费两次的概率
（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；
（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列及数学期望
22．（10分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．
（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数的概念，属于基础题.
2、A
【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可
【详解】
设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.
因为，所以，解得.
因为，所以.
设，易知平面ABC，则.
因为，所以，
即，解得.所以球Q的半径.
故选：A
【点睛】
本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题
3、B
【解析】
利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.
【详解】
∵在R上单调递增，且，∴.
∵的符号无法判断，故与，与的大小不确定，
对A，当时，，故A错误；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，，故D错误；
对B，对，则，故B正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
【详解】
对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.
5、D
【解析】
由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，
“”“”.
因此，“” 是“”的充分必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．
6、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
7、C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.
【详解】
依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.
8、B
【解析】
先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.
【详解】
解：当 时，，则;当时，
则.设 为函数图像上的两点，
当 或时，，不符合题意，故.
则在 处的切线方程为；
在 处的切线方程为.由两切线重合可知
，整理得.不妨设
则 ，由 可得
则当时， 的最大值为.
则在 上单调递减，则.
故选:B.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.
9、C
【解析】
分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.
详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：
，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C
点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．
10、B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
11、B
【解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】
因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12、D
【解析】
由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.
【详解】
由题可得，所以，
又，所以，得，，
所以椭圆的方程为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、32
【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，
则分层抽样的样本容量是人.
故答案为：32
【点睛】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
14、
【解析】
先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.
【详解】
．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15、
【解析】
根据已知条件，去括号得：，
16、
【解析】
双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，
一条渐近线的斜率为1，即，
，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I）由题意得，， ∴ .
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（II）由题意知.
，
当时，函数单调递增．
不妨设 ，又函数单调递减，
所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，
即对任意，恒成立.
记，
由题意得在上单调递减.
所以对任意，恒成立.
令，，
则在上恒成立.
故，
而在上单调递增，
所以函数在上的最大值为.
由，解得.
故实数的最小值为．
18、（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
【点睛】
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.
19、（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；
（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.
【详解】
（1）∵函数在上单调递减，
∴，即在上恒成立，
∴，
又∵函数在上单调递增，
∴，即在上恒成立，，
∴综上可知，.
（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，
在上为增函数，而，
∴当时，，当时，.
∴
∴
即，
∴.
【点睛】
本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.
20、（1），（2）
【解析】
（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；
（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，
所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，
因为，
整理得，
又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；
（2）由（1）可知，，
，即.
【点睛】
此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.
21、（1）（2）22.5（3）见解析，
【解析】
（1）根据频数计算频率，得出概率；
（2）根据优惠标准计算平均利润；
（3）求出各种情况对应的的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．
【详解】
解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率；
（2）第1次消费利润；
第2次消费利润；
第3次消费利润；
第4次消费利润；
这4次消费获得的平均利润：
（3）1次消费利润是27，概率是；2次消费利润是，概率是；3次消费利润是，概率是；4次消费利润是，概率是；
由题意：
故分布列为：
期望为:
【点睛】
本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
22、（1），；（2）.
【解析】
（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；
（2）设点对应的参数分别为，则，，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.
【详解】
（1）设点极坐标分别为，，
因为,则，
所以曲线的极坐标方程为，
两边同乘,得，
所以的直角坐标方程为,即.
（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.
由韦达定理得，，
所以，当且仅当时，等号成立，则，
所以当取得最小值时，直线的普通方程为.
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系．
不喜欢
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