2024北京市第一六六中学高一下学期6月期末模拟考试数学含解析

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1．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ）
A．B．3C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，，，，则．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②③④D．①③④
5．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等．如图，这座亭子带有攒尖的顶部可以近似看作一个底面积为的圆锥，体积为，据此可算得其侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载．已知圆周率小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在六面体中，平面平面，四边形ABCD与四边形是两个全等的矩形，，，平面ABCD，，，，则六面体的体积为（ ）
A．288B．376C．448D．600
二、填空题（每题5分，共五道题）
11．在复平面内，复数对应的点Z的坐标为________；________．
12．已知，是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是________．（填入条件的序号即可）
①； ②； ③； ④； ⑤．
13．已知点，，，．
（1）设线段AB的中点是H，若，则实数________；
（2）已知．若点Q的轨迹与直线平行，则实数________．
14．在中，，，．P为所在平面内的动点，且，若，的最大值为________．
15．如图①，矩形ABCD中，，，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形的位置，如图②．
（Ⅰ）若点在平面EFCB上的射影为BE的中点，则三棱锥的体积为________；
（Ⅱ）当平面与平面EFCB垂直时，作正方体如图③．若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积记为S，则S的最大值为________．
①②③
三、解答题（共六道题，共计85分）
16．（14分）已知函数，
（Ⅰ）如果点是角终边上一点，求的值；
（Ⅱ）设，求的单调递增区间．
17．（14分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：
表1
（Ⅰ）计算表中八周水站诚信度的平均数；
（Ⅱ）从表中诚信度超过的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；
（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：
表2
请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．
18．（15分）已知和都是直角三角形，，E，F分别是边AB，AD的中点，现将沿BD边折起到的位置，如图所示，使平面平面BCD．
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）请你判断，与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由．
19．（14分）在中，，，．
（1）求的大小；
（2）若D为BC边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（14分）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位：米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒），当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．
过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为．
（Ⅰ）求h与t的函数解析式；
（Ⅱ）当雨季来临，河流水量增加，使点O与水面间的距离减少了0.3米，求的大小（精确到）；
（Ⅲ）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．
（参考数据：，，）
21．（14分）设n为正整数，集合．对于集合A中任意元素和，
记．
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，设，且满足：对于B中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当，不同时，是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，，．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共10题）
1-5 CBCDA 6-10 DCBCB
二、填空题（每题5分，共5题，前3后2）
11．，1 12．①④⑤或②③⑤ 13．3，1
14．14 15．，，．
三、解答题（共六小题，共85分）
16．解：（Ⅰ）由已知：
（Ⅱ）
由得：
的单调增区间为
17．解：（Ⅰ）八周诚信水站诚信度的平均数为
（Ⅱ）表1中超过的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为、、，第二个周期有2个，分别记为、，
从这5个数据中任取2个共有10种情况：
，，，，
，，，
，，
．
其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况．
设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A．
则．
（Ⅲ）有效
阐述理由含如下之一
理由陈述的可能情况：
①第三个周期水站诚信度的平均数高于第二个周期的诚信度平均数；
②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；
③第三个周期水站诚信度的平均数高于第一、二个周期的诚信度平均数；
④12周的整体诚信度平均数为，高于前两个周期的诚信度的平均数；
18．解：（Ⅰ）因为E、F分别是边AB、AD的中点，
所以
因为平面BCD，平面BCD，
所以平面BCD．
（Ⅱ）因为平面平面BCD，
平面平面，
平面BCD，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（Ⅲ）结论：与BD不可能垂直．
理由如下：
假设，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以与矛盾，故与BD不可能垂直．
19．解：【小问1详解】
，
，故；
【小问2详解】
若选条件①：，
由，，，
故，即，
，
此时三角形唯一确定，符合要求，
．
若选条件③：的周长为，
由，故，
则，化简得，
即有，解得，故，
此时三角形唯一确定，符合要求，
．
选条件②．
20．解：（Ⅰ），
由已知，，，
，，，
所以函数解析式为．
（Ⅱ），，，
所以．
（Ⅲ）
21．答案：（1）2，1； （2）最大值 4；
（3）
解：（Ⅰ），
（Ⅱ）当时，依题意当，相同时，
为奇数，
则，，，中有“3个1和1个0”或“1个1和3个0”，
当，不同时，
①当，，，中有“3个1和1个0”时，元素为：
，，，，
经验证可知是偶数，符合题意，
集合B最多有4个元素，，，，
②当，，，中“1个1和3个0”时，
元素为，，，，
经验证可知是偶数，符合题意．
集合B最多有4个元素，，，．
（Ⅲ），
此时B中有个元素，下证其为满足题意元素最多的集合．
对于任意两个不同的元素，，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，
故B中最多有个元素．故B为满足题意的集合．第一周
第二周
第三周
第四周
第一个周期
第二个周期
第一周
第二周
第三周
第四周
第三个周期