精品解析：山西太原市2026届高考模拟考试(二) 数学试题（原卷+解析版）

这是一份精品解析：山西太原市2026届高考模拟考试(二) 数学试题（原卷+解析版），共4页。试卷主要包含了 已知函数，若，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名､考试编号填写在答题卡上.
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合补集交集运算即可.
【详解】因为，所以，
又，所以.
2. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】，即，
则.
3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，
故选：A
4. 已知，则向量与夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，
将代入化简可得，
所以，
所以向量与夹角为.
5. 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，逐项判断即可.
【详解】因为，
所以由正态分布的对称性知，
所以，不能判断，故A错误；
由知，，故B错误；
因为，所以，故C正确；
因为大小未知，所以不能判断，故D错误.
6. 已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（ ）
A. 5或11B. 7或13C. 9或18D. 12或21
【答案】D
【解析】
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以，，，，
，即，化简可得，
因为，即，
代入可得，
化简可得，
解得或，
，
代入可得或.
7. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分、、、讨论，进而得到，则，得到，进而得到即可求解．
【详解】，且定义域为，
又的解为或或，且，
当时，易知时，，不符合题意；
当时，易知时，，不符合题意；
当时，易知或时，存在，不符合题意；
当，如图，函数与的图像，
，即， 解得，
，当且仅当时取等，
则的最小值为．
8. 物体在太阳光照射下影子的长度是随着太阳高度（相对于地面）的变化而变化.如图，在某斜坡面道路旁两点处（其中在斜坡路面底，在斜坡路面上），有两根长度均为10米且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下（阳光可视为平行光），处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10米；处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为米.则该斜坡面与水平面的夹角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据在处的路灯杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的路灯杆算出斜面角的正弦值.
【详解】
水平路面，是照射过处路灯杆最高点的光线，光线交斜面于点，
如图可知，在处，，解得，即太阳光与水平面的夹角为，
所以，，，
在中，根据正弦定理可得，
代入可得，解得，即，
所以.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据与的关系可得，结合等比数列通项公式和题意求得，，再依次判断各选项即可.
【详解】当时，，解得，
当时，由题意可得，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
对于A，，故A错误；
对于B，是等比数列，故B正确；
对于C，因为，，
所以，故C正确；
对于D，若，则，即，
而当时，，故D错误.
10. 已知抛物线的焦点为点，过的直线与抛物线交于两点，点是线段的中点，过作轴的垂线，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的横坐标大于等于1
B. 若，则直线的斜率为1
C. 若，则直线的斜率为
D. 若，则直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，，联立得到，进而得到即可判断A；由弦长公式，解出即可判断B；由得到，结合求出即可判断C；根据题意得到，，结合求出即可判断D．
【详解】解：焦点，
由题可知直线斜率不为0，设，，
，，
，
线段的中点，
又，所以点的横坐标大于等于1，A正确；
，
解得，则直线的斜率，B错误；
，，，
，则，解得，
，解得，
则直线的斜率，C正确；
，则，，
，又，
，即，解得（负值舍去），
，直线的斜率，D正确．
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的最小值为
B. 若有两个极值点，则实数的取值范围为
C. 当时，的值域为
D. 若存在，使得成立，则实数的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可；
B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可；
C选项，直接利用导数分析的值域即可；
D选项，令，设出的根，保证即可.
【详解】 ，求导得
A选项，当时，，，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则，
即的最小值为，所以A选项错误；
B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解，
令，则，在上单调递减，在上单调递增，则，
且当时，；当时，；且时，，，
所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确；
C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增，
当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确；
D选项，存在，使得，即存在，使得，
令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则，
不妨设为的根，即 ，
当，单调递减，当，单调递增，
则在处取得最小值， ，
需要满足存在，使得成立，
令，则，其中，
令，解得，所以在上单调递减，在单调递增，
则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确.
【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围.
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________.
【答案】10
【解析】
【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为，
所抽样本中男运动员的人数为16，
则该样本中女运动员的人数为．
13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，点是其左､右顶点，点是双曲线的一条渐近线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为，求出点的坐标，进而得到，即，再求离心率即可．
【详解】解：不妨取在渐近线上，且在第一象限，渐近线倾斜角为，
则，
又点在圆，即上，
点的横坐标，纵坐标，
，又，
，
，
，即，，
则双曲线的离心率．
14. 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当的三个内角均小于时，则使得的点为的费马点；当有一个内角大于或等于时，则最大内角的顶点为的费马点.已知中，分别为内角的对边，且，点为内（含边界）一个动点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理得 ，化简得：，
因，则得，则，故
由余弦定理，d，则，
由于，，，，所以是以为顶点的直角三角形，且，.
如图所示，设是内的一点，将沿点逆时针旋转得，
由题意可得：，，且，，
所以是等边三角形，则，
当、、、四点共线时，取得最小值为，
因，，且，则，
故的最小值为.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的周期为，且.
（1）求的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期，可得，结合求出，再利用整体法求正弦型函数单调区间即可；
（2）由平移变换得到，再利用恒等变形化简求出值域即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
，
由得，
的单调递增区间为；
【小问2详解】
由题意得，
的值域为.
16. 已知椭圆的离心率为，点分别为的左､右焦点，过点的直线交于点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）设和的面积分别为，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据已知椭圆离心率，三角形周长，以及建立等式，求解即可；
（2）联立方程组，利用韦达定理，距离公式以及三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
如图所示：
因为椭圆的离心率为，所以，①
又的周长为8，所以，②
且，③
联立①②③解得：，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
如图所示：
由（1）得，设直线的方程为，
联立消去得：，
由，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以直线的方程为或.
17. 如图，三棱锥中，.
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可证平面，结合面积公式求三棱锥的体积；
（2）建系并标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角，进而分析其取值范围.
【小问1详解】
因为，
则，可得，
且，即，则，
又因为，即，则，
且，平面，则平面，
又因为，且，则，
可得的面积为，
所以三棱锥的体积.
【小问2详解】
过点作，垂足为，
以为原点，所在直线分别为轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
可得，
过点作平面，垂足为，由直线与平面所成的角为，
可得，
设为在平面内射线从轴的非负半轴开始，
绕点按逆时针方向旋转至时的旋转角，
则，
可得，，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，可得，
由题意可知：是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
令，则，
可得在上单调递增，且，，
则，即，
又因为，则，
所以平面与平面夹角的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若在处的切线经过点，求的值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积.
【答案】（1） （2）答案见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据导数求切线的斜率和切线的方程来进行参数的求解；
（2）通过构建辅助函数，研究辅助函数的单调性，从而判断原函数的单调性，然后根据单调性和极值点来判断函数零点的分布和数量；
（3）在已知零点个数和分布的情况下，结合第二问得到的结论，通过发现零点间的关系来进行解答.
【小问1详解】
，求导可得，
当时，，，
所以在处的切线方程为，即，
因为该切线过点，代入可得，解得.
【小问2详解】
易知，，
令，
判别式，解得，分类讨论，
当时，，，在上单调递减，所以有唯一零点，
当时，，，在上单调递增，所以有唯一零点，
当时，令，则或，
当，，，在和上单调递增，
当，，，在上单调递减，
因为，所以在内的零点是；
因为在上单调递减，所以，
当时，，在内有一个零点，
当时，，在内有一个零点，
综上所述，当或时，有一个零点，当时，有三个不同零点.
【小问3详解】
由（2）可知，当时，有三个不同零点，
即在内的零点是，在和内各有一个零点，
设两个零点分别为，，
代入可得，，
，且，
因为在内有一个零点，所以，
所以的三个不同零点的乘积为.
19. 如图，甲､乙､丙三人做传球训练，教练通过掷骰子（质地均匀）指令他们传球，规定如下：
①掷一次骰子，进行一次传球，即持球人将球传给另外一个非持球人；
②传球方向由掷骰子点数确定，若掷出骰子的点数为3的倍数，则按图中箭头方向传球；若掷出骰子的点数不是3的倍数，则按图中箭头相反方向传球.
设掷骰子次后，球传到甲､乙､丙的事件分别为，其概率分别为.已知第1次由甲将球传出.
（1）求；
（2）用表示；
（3）某数学兴趣小组，借助AI探究发现：已知数列满足，若是方程的两个不相等根（包含实数根和虚数根），则数列的通项公式可以表示为的形式.请根据上述发现，求（提示：可设）.
附：.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先得出，然后再根据全概率公式即可求解；
（2）首先根据全概率公式求出，，三个式子联立结合即可求解；
（3）根据题目提示构造可得的递推公式，然后求出方程的复数根即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
，
，
，
.
【小问2详解】
由题意可得，
，且，
，
，
又
，
，
.
【小问3详解】
由（2）得，设，
则，且，
由方程的根为，
可得，
则，
.