江西赣州市龙南市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（含解析）

这是一份江西赣州市龙南市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：宋小欣 廖楠 审题人：陈俐宏 欧阳青
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与角终边相同的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断.
【详解】因，
故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确，
而A，B，D项中的角都与终边不同.
故选：C.
2. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案.
【详解】因为向量共线，
所以存在实数 ，使得，
所以，解得，则.
故选：D.
3. 若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形的弧长公式与面积公式判断选项即可.
【详解】由题意得，解得，则.
4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，则，
而，，
所以在上的投影向量为.
5. 如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，
，
又，
则由平面向量基本定理可知，，得，
则.
6. 记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得
，
代入得.
由余弦定理得，
又，所以，化简得，
因为，所以.
7. 若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】C
【解析】
【分析】利用正切函数的对称中心为，即每隔半个周期就有一个对称中心.
【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为，
设的最小正周期为T，则，得.
由，，
得，，
所以的单调递增区间为,（）.
8. 函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 取值范围为
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解.
【详解】A，当时，，则在上单调递减，，
当时，，则在上单调递增，，即，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
，，
利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象如下，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点，则，错误；
B，结合选项A中分析可得，所以，则，错误；
C，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称，所以，错误；
D，当时，，令，得，所以，，
由图知同增同减，所以，正确.
二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】若为偶函数，
则，解得.
当时，；当时，．
10. 已知曲线， ，则下面结论正确的是（ ）
A. 把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
B. 把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】AD
【解析】
【分析】利用三角函数图象的伸缩变换、相位变换进行计算求解.
【详解】对于A，曲线向左平移个单位长度，得到，
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到，故A正确；
对于B，把曲线向左平移个单位长度，得到，
再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到，故B错误；
对于C，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到，故C错误；
对于D，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把得到的曲线向左平移个单位长度，
得到， 故D正确．
故选：AD.
11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C．
【详解】对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则
，又，
，，三点共线，，
且，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确．
故选：ACD．
关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，的夹角为，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量，的模和夹角即可得出的值.
【详解】由题意，
向量，的夹角为，，，
，
故答案为：.
13. 如图，在四边形中，为等边三角形，，则______．
【答案】18
【解析】
【分析】先通过勾股定理判断是直角三角形，再通过向量分解将拆分为，最后结合等边三角形的性质即可求得结果.
【详解】因为，即，
所以是直角三角形，且，
因为，所以，
因为是等边三角形，所以，
即.
14. 若函数在上有4个最值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出的范围，根据条件建立不等式求解即可.
【详解】因为，则，
因为在上有4个最值，
所以
解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
（1）已知角终边上有一点，求的值．
（2）计算的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
因为角终边上有一点，则x=−12,y=32，且r=|OP|=−122+322=1 ，
则，csα=xr=−12，
所以sinα−π2csπ2−αtan(π−α)tan(π+α)sin(π+α)=(−csα)sinα(−tanα)tanα(−sinα)=−csα=12；
【小问2详解】
（2）sin900°+sin−930°+cs−1500°+tan−1125°=sin180°+sin150°+cs(−60°)+tan(−45°)=0+12+12−1=0 ．
16. 已知平面向量．
（1）当λ为何值时，与垂直？
（2）与的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的数量积为0可得；
（2）由与的数量积大于0，再去除两向量共线的情形．
【详解】（1）因为平面向量．
则与，
因为与垂直，
所以，解得.
（2）因为平面向量．
则与，
因为与的夹角为锐角，
所以，即，
解得且，
即
17. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）求的值；
（2）点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求出的值，结合三角形内角范围即可求得角．
（2）结合图形用表示，再利用向量数量积的运算律，结合基本不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式即得答案．
【小问1详解】
由和正弦定理，得，
即，由余弦定理得，
因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
即，
两边同时平方得AD⃗2=13AB⃗+23AC⃗2=19AB⃗2+49AB⃗⋅AC⃗+49AC⃗2，
即，
所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以故S的最大值为．
18. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
（1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
（2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
（3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值.
【答案】（1），.
（2）100秒 （3）20
【解析】
【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。
（2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。
（3）由，化简可得或，即可求出的最小值.
【小问1详解】
由图可知，的最大值为，的最小值为，
则，,
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以，
所以，
当时，，所以，则，
因为，所以，所以，.
【小问2详解】
由（1）得，
令，则，得，
则，
解得，
5分钟秒，则令，，得，
故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.
【小问3详解】
不妨设，由题意得，
故，
①，，解得，，
故，当且仅当，时，等号成立，
②，，解得，
显然当时，取得最小值，最小值为,
综上，的最小值为20.
19. 若函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若当时，，求实数t的取值范围．
（3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式；
（2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可；
（3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解.
【小问1详解】
设的最小正周期为T，且，
由题图可得，且，
即，则，可得，
又因为，即，
且，则，
可得，即，
所以，
【小问2详解】
当时，利用周期等价于，则，
若，即，
则，解得，
所以实数t的取值范围为.
【小问3详解】
由题意可知：，
若存在非零常数λ，对任意，有成立，
因为在R上的值域为，则在R上的值域为，
可知，即，
当时，则，可知1为的一个周期，
即1为最小正周期的整数倍，
可得，则（且），
当时，则，
可得，
由诱导公式可得，可得
综上所述：当时，且；
当时，．