江西赣州市五县2025-2026学年高一下学期期中阶段检测数学试题（含解析）

这是一份江西赣州市五县2025-2026学年高一下学期期中阶段检测数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册，第二册1.1—2.5.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是第四象限角，则是（ ）
A. 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角
【答案】B
【解析】
【详解】解：因为是第四象限角，且与的终边关于x轴对称，
所以是第一象限角，将的终边按逆时针方向旋转，角的终边落在第三象限．
2. 集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【详解】解：由题意得，其元素个数为3，子集个数为．
3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角函数定义，结合诱导公式计算得到答案．
【详解】解：．
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】单调递增，
∴a=21.3>21=2 ，即，
单调递增，
，即，
，
，
．
5. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题可知，，
令，，解得，，
当时，得，故C正确，经检验，其他选项不符．
6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，，，
∴8a+b=2a+1b8a+b=17+2ab+8ab≥17+22ab·8ab=25 ，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为．
7. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由重心的性质可得，求出，再根据在上的投影向量为AD⋅ABAB2⋅AB计算即可．
【详解】解：因为D是的重心，所以，
又，，，所以AB⋅AC=AB⋅ACcs∠BAC=3×2×csπ3=3 ，
则在上的投影向量为AD⋅ABAB2⋅AB=13AB2+AB⋅ACAB2⋅AB=139+39⋅AB=49AB．
8. 函数的所有零点的和为（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可．
【详解】由，得，
则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和．
易得与的图象均关于点对称．
，，，结合与的图象，
可知与的图象在内共有2个交点，
则与的图象共有5个交点，且关于点对称，
则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，满足，，则可能为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量不等式a→−2b→≤a→+2b→≤a→+2b→进行求解．
【详解】解：由题可得a→−2b→≤a→+2b→≤a→+2b→，从而3≤a+2b≤5 ，
所以选项BCD符合题意．
10. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增B. 的值域为0,2ln22
C. 的图象关于直线对称D. 恰有1个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D.
【详解】由题可知的定义域为22,66，因为g88−x=fx−22+f66−x=lnx−22+ln66−x=gx，
所以的图象关于直线对称，C正确．
因为gx=ln66−xx−22=ln−x2+88x−1452，
且函数t=−x2+88x−1452 在上单调递增，ht=lnt 在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确．
当x∈22,66时，t=−x2+88x−1452=−x−442+484∈(0,484] ，
所以的值域为−∞,2ln22，B错误．
令gx=ln66−xx−22=0 ，
又因t=66−xx−22开口向下，且t∈(0,484] ，所以在22,66内有两解，D错误．
11. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图像关于原点对称
C. 当时，
D. 在上单调递减
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项，因为正余弦函数的最小正周期均为，因此的最小正周期为；选项，由奇函数图像关于原点对称，而在其定义域内不是奇函数；选项，求出各部分在区间的函数取值范围，即可判断的符号；选项，利用正余弦函数单调性即可作出判断.
【详解】解：由题意知函数的定义域为.
选项，因为，所以为的周期.
假设存在比小的周期，设，根据周期函数定义可知，
由恒等式可推出唯一可能的值为，
但，
所以假设不成立，因此，的最小正周期为，正确；
选项，因为，
所以不是奇函数，因此图像不关于原点对称，错误.
选项，当时，，，，
所以，正确；
选项，当时，且单调递增，则在上单调递减；
又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某志愿者团队共有名男性志愿者和名女性志愿者，现按比例用分层随机抽样的方法选取名志愿者，则男性志愿者被选中的人数为______．
【答案】
【解析】
【详解】由题可知，男性志愿者占比为：，
男性志愿者被选中的人数为．
13. ______．
【答案】##
【解析】
【详解】sin180°+α−cs90°+α+cs240°2+cs−α+sin270°+α=−sinα+sinα−cs60°2+csα−csα=−sinα+sinα−122+csα−csα=−14．
14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值.
【详解】如图，记，
则，OD=10,cs∠AOD=a⋅bab=35，
可得
则.
取的中点，则c→−a→=OC⃗−OA⃗=AC⃗=AE⃗+EC⃗,
c→−2b→=OC⃗−OD⃗=DC⃗=DE⃗+EC⃗=−AE⃗+EC⃗，
则c−a⋅c−2b=AE+EC⋅−AE+EC=EC2−AE2=EC2−16=−12 ，
则EC=2 ，
故是以为圆心，2为半径的圆上的动点，
.
易得，所以1≤BC≤5 .
所以的最大值为5.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，，．
（1）若A，B，D三点共线，求x的值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出坐标，利用向量平行关系构造方程求解；
（2）求出坐标，利用向量垂直关系构造方程求解．
【小问1详解】
，，
，
又A，B，D三点共线，
，则，解得．
【小问2详解】
由，得，
，，
，
，解得．
16. 不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为．
（1）求m的值．
（2）现进行两次取球．
（ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率；
（ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【小问1详解】
由题可知每次黄球被取出的概率为，解得．
【小问2详解】
（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立.
所以恰有一次取出黄球的概率为．
（ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立.
所以这两次取出的球的颜色相同的概率为．
17. 已知函数的部分图象如图所示，点，点．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由图象确定周期求得，通过点坐标代入解析式即可求解；
（2）由（1），通过整体代入即可求解；
（3）由x∈π9,π3，得的范围，再结合正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由图可得，所以，即，
解得．
将的坐标代入fx=4sin3x+φ中，得，即
所以，因为，所以．
故fx=4sin3x−π6．
【小问2详解】
令−π2+2kπ≤3x−π6≤π2+2kπ,k∈Z ，
得−π9+2kπ3≤x≤2π9+2kπ3，k∈Z ，
所以的单调递增区间为−π9+2kπ3，2π9+2kπ3k∈Z．
【小问3详解】
设，由x∈π9,π3，得，
所以fxmax=4sinπ2=4 ，
所以fxmin=4sinπ6=2 ，
故在π9,π3上的值域为．
18. 定义：若函数的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“临奇函数”．
（1）判断定义域为的函数是否为“临奇函数”，并说明理由；
（2）若函数是定义在区间上的“临奇函数”，求m的取值范围．
【答案】（1）函数不是上的“临奇函数”，理由见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据“临奇函数”的定义和性质，利用反证法得出结论；
（2）根据“临奇函数”的定义和性质，结合已知条件构造不等式，解不等式求m的取值范围．
【小问1详解】
假设是上的“临奇函数”，则存在，
使得，整理得，这与相矛盾，
函数不是上的“临奇函数”．
【小问2详解】
是区间上的“临奇函数”，
存在，使得，
化简得，
，即，
，
，
，即，
恒成立，
，即，
，即m的取值范围为．
19. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）.
（1）若，用表示；
（2）求的取值范围；
（3）延长到点，使得，若，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量基本定理可得答案；
（2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值；
（3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案
【小问1详解】
因为，所以.
又是的中点，所以，
从而.
【小问2详解】
（方法一）因为是线段上的点，
所以AF=xAE+1−xAB=xAD+1−x2AB0≤x≤1.
又，所以
.
由，得12≤16−4x≤16 ，故的取值范围为.
（方法二），分别记在上的射影为.
由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值，
当运动到点处时，取得最大值.
记的交点为，易得，
则，
则，
则，故的取值范围为.
【小问3详解】
由题可知，
因为，所以.
又，所以，
则，从而，
，
则，
则.