2026石家庄一中高三下学期第一次模拟考试数学含解析

这是一份2026石家庄一中高三下学期第一次模拟考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ）
A．667B．668
C．669D．675
3．为虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
4．在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．设随机变量服从正态分布，若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．5
6．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．5C．2D．
二、多选题
9．圆柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（ ）
A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等
B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为
C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为
D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为
10．已知，，，则（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为
C．的最小值为3D．的最小值为
11．数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
A．方程，表示的曲线在第二和第四象限；
B．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过；
C．曲线构成的四叶玫瑰线面积大于；
D．曲线上有个整点（横､纵坐标均为整数的点）.
三、填空题
12．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
13．的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______.
四、解答题
15．如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为．

(1)证明：；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
16．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
(1)计算变量的相关系数（结果精确到0.01）.
(2)求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据：，
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距.
17．已知数列满足，且．
(1)若，证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
18．已知函数，直线是曲线在点处的切线.
(1)当时，求直线的方程；
(2)求证：函数有唯一零点；
(3)记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.
19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；
(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
参考答案
1．A
【详解】，
∴
故选：A
2．D
解：依题意
由，解得.
故选：D
3．A
【详解】.
故选：A.
4．C
【详解】由题意可知：，
，
联立方程组，消去可得：.
故选：C.
5．A
【详解】由题意，根据正态分布的对称性
故选：A
6．A
【详解】圆的圆心为，半径为，
若直线与圆相交，
则，即，
两边同时平方化简可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
7．B
【详解】向量，都是单位向量，则，
，即，
，
又因为，所以，
故选：B
8．B
【详解】由题意得，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
设，则有，解得，
代入双曲线方程，得，
又，所以，
化简可得：，，
所以，解得或(,舍).
故选：B
9．ABD
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，所以内切球的半径为，A正确；
圆柱的表面积为，内切球的表面积为，所以圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为，B正确；
圆柱内接圆锥的表面积为，圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为错误；
圆柱内切球的体积，圆柱的体积，所以，D正确.
故选：.
10．BCD
【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误；
,
，，，,
当时，的最小值为，则B正确；
因为，且，所以，所以，
,当且仅当时，等号成立，则C正确；
,当且仅当时，等号成立，则D正确；
故选：BCD.
11．AB
【详解】A项：因为，所以、异号，在第二和第四象限，故A正确；
B项：因为，当且仅当时等号成立，
所以，，
即，，故B正确；
C项：以为圆心、为半径的圆的面积为，
显然曲线构成的四叶玫瑰线面积小于圆的面积，故C错误；
D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，
因为曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过，
所以可将、、、、、代入曲线的方程中，
通过验证可知，仅有点在曲线上，
故结合曲线的对称性可知，曲线仅经过整点，故D错误，
故选：AB.
12．56
【详解】，
令，解得，所以.
故的展开式中的系数为56.
故答案为：56
13．
【详解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，
14．9
【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为，
第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：
4白，取法数为：，
1红3白，取法数为：，
2红2白，取法数为：，
3红1白：取法数为：，
所以第四次取出的是白球的总情形数为：
，
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为：
，
当时，.
故答案为：．
15．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）取的中点，连接，由是中点，得，
依题意，，则，由是等边三角形，得，
又平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）不妨设，则，
连接，在中，，
则，即，又平面，
因此平面，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设平面的法向量为，由，令，得，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
16．(1)0.99
(2)，986万元.
【详解】（1）
（2）因为，
所以，
所以变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元）.
所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，即，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，
所以，
所以前项和
18．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由，可得，.又因为时，.
因为直线是曲线在点处的切线，所以直线的方程为，
所以，直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，令可得，列表可得
当， ，此时函数无零点
当时，单调递增，又，，
所以根据零点存在性定理，函数存在唯一零点.
（3）由（1）可知直线的方程为，
因为直线与轴相交，且交点的横坐标为，，
所以令，当时，有.
设，则.
又，所以，
由（2）知，且当，且.
所以当或时，；当或时，.
列表可得
当时，，不满足，
当时，，即成立
综上可知，.
19．(1)
(2)时，四边形的面积最大值为
(3)答案见解析
【详解】（1）由题意可得，即.
由得，，
则将代入，化简得.
故曲线的方程为.

（2）由，消得，
解得，由已知直线交曲线于，
不妨设,，
所以，同理.
由题意知 ，所以四边形的面积.
.
∵ ，∴，
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为.
（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，

下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，
则，点关于直线的对称点为，
因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理可得点关于直线的对称点也在曲线上，
故曲线关于直线对称，
同理可证曲线关于原点对称.
下面证明为椭圆.
证明：①联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
联立曲线和直线方程，
解得交点坐标为，
则，，，.
在上取点，
设为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
②若点到两定点的距离之和为定值，
设为曲线上任一点，则
，
移项得
平方整理得，，
再移项平方得
化简可得
故点的轨迹方程为，
综上所述曲线是椭圆，其焦点坐标为.
月份
1
2
3
4
5
带货金额万元
350
440
580
700
880
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
单调递减
极小值
单调递增