2026石家庄一中高二上学期开学考试数学含解析

这是一份2026石家庄一中高二上学期开学考试数学含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（ ）
A．B．4C．6D．
2．已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（ ）
A．°或75°B．15°或105°C．75°或165°D．30°或60°
3．如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．设、，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．4D．3
5．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分必要条件B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件D．必要不充分条件
7．圆关于直线对称的圆的方程是 （ ）
A．B．
C．D．
8．在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为，则斜率；
B．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为；
C．直线与轴的交点到原点的距离为；
D．斜截式方程不能表示平面内的所有直线．
11．已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点且与直线所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
三、填空题
12．若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为 ．
13．写出一个过点，的圆的标准方程 ．
14．若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是 .
四、解答题
15．已知，在y轴上求点C，使得的面积为12．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，.
(1)求证：；
(2)求的长.
17．如图，在正三棱柱中，是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
19．如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
1．C
根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可.
【详解】因为，故点关于平面的对称点为为，
故，
故选：C.
2．C
求出直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可.
【详解】直线的斜率，则其倾斜角为，
由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或.
故选：C
3．C
结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意
，
又，所以，.
故选：C
4．D
利用向量共线、垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算求出模.
【详解】由，得，解得，即，
由，得，解得，即，因此，
所以.
故选：D
5．C
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
6．A
由充分条件和必要条件的定义,分别验证充分性和必要性.
【详解】当时，两直线方程分别为和，则两直线平行；
当直线与直线平行时，有，
即，解得或，其中时两直线重合，舍去，故.
“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.
故选：A
7．C
【详解】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y＝0 即 （x﹣2）2+（y+1）2＝5，表示以A（2，﹣1）为圆心、以为半径的圆．
设A（2，﹣1）关于直线y＝x+1对称的点B（m，n），则有 ，解得 ，∴B（﹣2，3）．
故对称的圆的方程是 （x+2）2+（y﹣3）2＝5，
故选：C．
8．C
建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可.
【详解】

如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，;
取，
，
则，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
9．ABD
利用空间向量运算判断A；利用共线向量的意义判断B；利用空间向量基底的概念判断C；利用空间共面向量定理判断D.
【详解】对于A，当非零空间向量满足，时，
与不一定平行，也可能垂直，错误；
对于B，当非零向量与平行时，A，B，C，D四点共线或直线与直线平行，错误；
对于C，若不能构成空间的一组基底，则共面，
故存在，使得，
即，由于是一组基底向量，
所以无解，故能构成空间的一组基底，正确；
对于D，，若，
则，化简得，
因此P，A，B，C四点共面，
如图，三点共线，且为的中点，不在直线上，在平面外，
则，而，不共面，
故恒不成立，
故是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，
故D错误.
故选：ABD.
10．ABC
利用反例法和相关知识进行分析、判断.
【详解】A选项，当倾斜角为90°，它的斜率不存在，故本选项说法不正确；
B选项当或时，显然该结论错误，故本选项说法不正确；
C、截距可为负值，并不是距离，故本选项说法不正确；
D、直线的斜率不存在时，直线没有斜截式，故本选项说法正确.
故选：ABC．
11．BC
利用异面直线所成角的定义判断A；利用线面角的意义判断B；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD作答.
【详解】因为异面直线与直线所成角为，显然过点分别与直线平行的直线的夹角为，
在直线确定的平面内过点与都成角的直线只有1条，
所以过点与直线所成角均为的直线只有1条，A错误；
因为平面与平面的夹角为，则过点与平面所成角都是和的直线各有一条，
若过点与平面所成角都是，则在直线的两侧各有一条，在直线的两侧各有一条，因此共条，B正确；
以为顶点，母线与底面成角的圆锥底面所在平面为，满足点在外，且过点的直线与平面成角，如图，
圆锥每条母线与平面都成角，因此可以作无数条，C正确；

过点作，交平面于点，过点及圆锥底面圆心的直线与圆锥底面圆交于点，
显然，设为圆锥底面圆周上任意一点，
于是，因此圆锥母线中与直线成的直线有2条，即与直线成的直线有2条，D错误.
故选：BC
12．
根据向量法求点面距离公式求解即可.
【详解】设点到平面的距离为，
则，
故答案为：
13．（形式不唯一，只要符合：，其中即可）
【详解】由题意：设圆心为：，半径为：，
则；.
取可得满足条件的一个圆的标准方程：
故答案为：（答案不唯一）
14．
【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即，
点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值，
又圆心到直线的距离.
故答案为：
15．或
设，，利用点斜式可得直线的方程，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】解：设，，
直线的方程为：，化为：，
点到直线的距离，
，
解得或．
或．
16．(1)证明见解析
(2)
（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论；
（2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案.
【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
，
，
所以
，
所以.
（2）由（1）知，
所以
.
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，与相交于点，连接，如下图：
因为四边形为矩形，故为的中点.
又为的中点，故，
又平面平面，
所以平面
（2）取的中点，连接，则，
由于平面，故平面，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，
解得，令得，故，
又
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为.
18．(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
连接，设，连接，
有平面，由题意得，且,
连接，，设，则，故在上，
过作为垂足，在中，，
故，因为，所以，
故，所以，
所以，又
平面，平面，，
故平面，因为平面，故.
又平面平面，故平面.
（2）
以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得
，
由（1）得平面，故平面的一个法向量为
其中
设平面的一个法向量为，
则，
令可得
设为二面角的平面角，则，
由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
D
C
A
C
C
ABD
ABC
题号
11









答案
BC