2026年北京市房山区高三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年北京市房山区高三下学期二模数学试卷和答案，共14页。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
U A 
（1）已知全集U  {x  Z| x  3}，集合 A  {x  Z| x  0} ，则
（A）{ x|0  x  3}
（C）{ x|0 ≤ x  3}
（B）{1，2}
（D）{0 ，1，2}
已知复数 z 满足(1  i)  z  2i ，则 z 的共轭复数 z 
（A）1i
（C） 1i
在(2x  1 )5 的展开式中， x1 的系数为
x
（A） 40
（C） 80
（B）1i
（D） 1i
（B） 40
（D） 80
下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是
f (x)  tan x
（C） f (x)  ex  1
ex
f (x)  x3 1
（D） f (x)  x  1
x
宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12 行，总数恰为108 座，自上而下每行的塔数构成数列{an }．已知{an} 的前 4 项和 S4  12 ，从第5 项到第12 项构成等差数列， a12  19 ，则 a5 
（A） 3（B） 5
（C） 7（D） 9
已知 M (
2 ，0) ， N ( 2 ，0) ，点 P 满足|PM |  | PN |  2 ， O 为坐标原点，则直线 PO 的斜率的取值
范围是
（A） ( ，1)(1， )
（C） ( ，1][1， )
（B） ( 1，1)
（D）[ 1，1]
在△ABC 中，“ sin A  sin C ”是“ cs A  cs C ”的
充分不必要条件（B）必要不充分条件
充要条件（D）既不充分也不必要条件
设点 A(t ， 3) ，若在圆O ：x2  y2  3 上存在点 B ，使得OAB   ，则t 的最大值为
3
2
（A）1（B）
3
（C）（D） 2
已知函数 f (x)   ln(x 1) ，x ≥ 0 ，若存在非零实数 x ，使得 f (x )  f (x ) 成立，则实数 k 的取值范

 kx ，
x  0．
000
围是
（A）[ 1， )
（B）[ 1，0)
（C） (1， )
(1，0)
n
设 a ，b  R ，数列{an } 满足 a1  a ， an1  a2  b ， n  N ，则
当b  1 时， a8  8
2
（C）当b  1 时， a8  8
当b  1 时， a8  8
4
（D）当b  12 时， a8  8
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
抛物线 x2  4 y 的准线方程为．
在△ABC 中， sin 2C  sin C ，则C =；若b  1 ， A 为钝角，则边c 的一个取值为．
我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为 12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为．
已知矩形 ABCD 中， AB  2 ， AD 1 ．若点 M 为CD 中点，则 AM  DC ；
若点 N 满足 AN  t AB  (1  t) AD （ 0 ≤ t ≤ 1 ），则 AN  BC 的取值范围是．
（15）设集合 A  {m |  x  4 ，(x  2m)(x  m2 )  0}， B  {m |  x  4 ，(x  2m)(x  m2 )  0}，给出下列四个结论：
① 0  A 且 0  B ；
② 1 A 且1 B ；
③ 若 m  0 ，则 m  A 且 m  B ；
④ 若 m  A 且 m  B ，则 m ≥ 2 ．其中正确结论的序号是．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x)  sin(x  π)  a csx (  0 ，a  0) ．
6
（Ⅰ）若 f (0)  1 ，求 a 的值；
（Ⅱ） 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数 f (x) 存在，求 f (x) 的单调递增区间．
条件①：函数 f (x) 的最大值为1 ；
条件②：函数 f (x) 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 π ；
2
条件③：函数 f (x) 满足 f (x)  f (x)  0 ．
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题 13 分）
4 月 23 日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容
的频率分布如下图：
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
23%
22%
20%
15%
15%
17%
18%
30%
10%
30%
文学自然科学社会科学艺术生活漫画
女生 男生
假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率．
从该市小学生中随机抽取1 名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率；
从该市小学生中随机抽取1 名男生和 2 名女生，记这3 人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为 ，
求 的分布列和数学期望 Eξ ；
从该市小学生中随机抽取1 名男生，用“ X 1”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“ X  0 ”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取1 名女生，用“ Y 1 ”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“ Y  0 ”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差 DX 与 DY 的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题 14 分）
如图，三棱柱 ABC  A1B1C1 中， AB  BC ， AA1  AB  A1B  BC  2 ，平面 ABC  平面 AA1B1B ．
C1
E
B
求证： A1A  BC ；A1B1
求平面 A1C1B 与平面 ABC 的夹角的余弦值；
设点 E 为线段 AB 上任意一点（且不与点 A ， B 重合），A
求证：直线CE 与平面 A1C1B 相交．C
(19)（本小题 15 分）
已知椭圆 E : x2  y2  1a  b  0 的左、右顶点分别为 A(2 ，0)B(2 ，0)
直线l：y  x 与椭圆 E 交
a2b2，，
于点C(1，1) ， D(1，1) ．
求椭圆 E 的标准方程与离心率；
若直线l 与圆O : x2  y2  r2 (0  r  b) 交于点 F ， G ，直线 AF ， AG 与椭圆 E 的另一个交点分别为点 M ， N ，求证：对任意r (0 ，b) ，直线 MN 过定点．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f (x)  ln x , g (x)  k x ．
若曲线 y  f (x) 与直线 y  g (x) 相切，求切点 P 的坐标和实数 k 的值；
若对任意实数 M ，都存在实数 x0 ，使得 f (x0 )  g(x0 )  M ，求 k 的取值范围；
对给定的 k (k  1) ，任意t ( t  R ) ，直线 y  t 与曲线 y  f (x) ， y  g (x) 的交点
e
分别为 A，B ，求| AB | 的最小值 H (k ) ．
（21）（本小题 15 分）
由 n 个实数组成的有序数组 (x1，x2 ， ，xn ) 称为 n 维向量． n 维向量   ( x1，x2 ， ，xn ) ，
  ( y1，y2 ， ，yn )
，当且仅当
xi  yi (i  1，2 ， ，n )
时，    ．对任意 k  Z ， 定 义 ：
    ( x1  y1，x2  y2 ， ，xn  yn ) ； k  ( k x1，k x2 ， ，k xn ) ．
设集合 A  {(x1，x2 ， ，x8 ) | xi {0，1}，xi  x9i  1，i 1，2 ， ，8，x1  x2  x3  x4 为偶数} ．令集合 B  { | 存在 ki  Z ，使得  k11  k22  k88 ， i  A，i  1，2 ， ，8} ．
写出集合 A 的所有元素；
判断   (2 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ， 2) 与  (10 ，9 ，7 ，5，5，3，1 ，0) 是否属于集合 B ，并说明理由；
若  (b1，b2 ， ，b8 ) ，bi  N ，i  1，2 ， ，8 ，求证：“   B ”的充要条件为 “ b1  b2  b3  b4 为偶数，且b1  b8  b2  b7  b3  b6  b4  b5 ”．
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（1）D
（2）B
（3）A
（4）C
（5）B
（6）B
（7）C
（8）A
（9）D
（10）A
（11） y  1
π
3
2 （答案不唯一）
64π（14） 2[ 0 ，1]
（15）② ③
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f (0)  sin( π)  a cs 0  a  1 ，
62
所以由 f (0)  1 ，得 a  3 ．
2
f (x)  sinx cs π  csxsin π  a csx
66
3 sin x  (a  1) csx ．
22
选①②：
因为 f (x) 的最大值为1 ，所以（
3）2 +(a  1)2  1 ，解得 a  0 或 a  1 ．
22
又因为 a  0 ，所以 a  1 ．所以 f (x) 
3 sin x  1 csx  sin(x  ) ．
226
因为函数 f (x) 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 π ，所以 T  π ，所以T  π ．
222
所以 2π  π ．又因为  0 ，所以  2 ．
| |
所以 f (x)  sin(2x  ) ．
6
由 2k   ≤ 2x   ≤ 2k   ，k  Z ,解得k   ≤ x ≤ k   ，k  Z ．
26236
所以 f (x) 的单调递增区间为[k   ，k  ]，k  Z ．
36
选②③：
因为 f (x) 满足 f (x)+f (x)  0 ，
所以 3 sinx  (a  1)csx 
3 sin(x)  (a  1)cs(x)  0 ．
2222
即(a  1 ) cs x  0 恒成立，所以 a  1 ．所以 f (x)  3 sinx ．
222
因为函数 f (x) 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 π ，所以 T  π ，所以T  π ．
因为T  2π ，所以 2π  π ，
222
| || |
因为  0 ，所以  2 ．
所以 f (x) 
3 sin 2x ．
2
由 2k   ≤ 2x ≤ 2k  ，k  Z ．解得 k   ≤ x ≤ k  ，k  Z ．
2244
所以 f (x) 的单调递增区间为[k   ，k  ]，k  Z ．
44
（17）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）记事件 B 为“从该市小学生中随机抽取1 名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”，记事件C 为“从该市小学生中随机抽取1 名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”，
由图可知， P (B)  0.23 ， P (C)  0.22 ．
记事件 A 为“从该市小学生中随机抽取1 名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”，则 P ( A)  P (B)  P (C)  0.23  0.22  0.45 ．
（Ⅱ）  的取值范围为{0 ，1，2 ，3} ．
“从该市小学生中随机抽取1 名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为0.3 ，
“从该市小学生中随机抽取1 名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为0.2 ．
P(  0)  (1  0.3)(1  0.2)(1  0.2)  0.448 ；
P(  1)  0.3 0.8  0.8  0.7  0.2  0.8  0.7  0.8  0.2  0.416 ；
P(  2)  0.3 0.2  0.8  2  0.7  0.2  0.2  0.124 ；
P(  3)  0.3 0.2  0.2  0.012 ．
所以 的分布列为：
数学期望 E  0  0.448  1 0.416  2  0.124  3 0.012  0.7 ．法二： E  1 0.3  2  0.2  0.7 ．
D X  DY ．
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为平面 ABC  平面 AA1B1B ，面 ABC 面 AA1B1B  AB ， AB  BC ， BC  面 ABC ，所以 BC  平面 AA1B1B ．
A1B1
C1
E
B
又因为 AA1  平面 AA1B1B ，所以 A1A  BC ．
取 AB 的中点O ．又因为 AA1  AB  A1B ，
A
所以 A1O  AB ．
C
又因为平面 ABC  平面 AA1B1B ，所以 A1O  平面 ABC ．
A1
B1
C1
E
O
y
B
C
z
如图建立坐标系O  xyz ．则 BC // x 轴．
则 A( 0 ，1，0) ， B( 0 ，1，0 ) ， C( 2 ，1，0 ) ，
A1( 0 ，0 ， 3 ) ， B1( 0 ，2 ， 3 ) ， C1( 2 ，2 ， 3 ) ，A

0
1
2
3
P
0.448
0.416
0.124
0.012
A1B  ( 0 ，1，
x
3 ) ， A1C1  ( 2 ，2 ，0) ．
因为 A1O  平面 ABC ，所以平面 ABC 的一个法向量为 m  ( 0 ，0 ，1) ．
设平面 A C B 的一个法向量为 n  ( x ，y ，z ) ，则n  A1B ， 所以 y 
3z  0，
1 1n  AC ．

2x  2 y  0．
1 1
3
令 z 1，得 n  ( ， 3 ，1) ．
设平面 A C B 与平面 ABC 的夹角为θ ，则csθ  | cs  m ，n |  | m  n | 1
 7 ．
1 7
1 1
设 E( 0 ，y ，0 ) ，1  y  1，则CE  (  2 ，y 1，0 ) ．
3
由（Ⅱ）知平面 A1C1B 的法向量为 n  ( ， 3 ，1) ．
| m || n |7
因为 n  CE  
3  (  2) 
3  ( y 1)  0 
3( y  1)  0 ，
所以直线CE 与平面 A1C1B 相交．
（19）（本小题 15 分）y
解：（Ⅰ）由题意得 a  2 , 1  1
 1，所以 b2  4 ．D
a2b2
3GN
x23y2ABx
所以椭圆 E 的标准方程为
 1 ．
44O
因为c2  a2  b2  8 ，所以离心率e  c 6 ．F
3a3CM
（Ⅱ）由 y  x ，得 x  y  2 r ，或 x  y   2 r ．

x2  y2  r222
不妨设 F (m ，m) ， G(m ， m) ，因为0  r  b ，所以 m  0 ， m  2 ．
设直线 AF 的方程为 y  kx  n ，则 k 
m m  2
， n 
2m
m  2 ．
x 2  3y 2  4
由 y  kx  n ， 得(3k 2 1)x 2  6knx  3n 2  4  0 ．

所以2  x  6kn 
M3k 2 1
m 2  2m  2
3k 2 1
．所以 xM 
6kn  2  6k 2
3k 2 1
m 2  2m  2

．
m 2  m 1
m 2  2m
所以 yM  kxM  n  m 2  m 1 ．
m 2  2m 
y  22
2m 2  2
设点 P(2 ，2) ，则 k PM  M  m  m 1 ．
x  2m 2  2m  2
3m 2
M 2
m 2  m 1
(m) 2  2
m 2  2
k k
同理 k PN 
3(m) 2

3m 2
．所以 PMPN ．
所以 P ， M ， N 三点共线．
所以对任意r (0 ，b) ，直线 MN 过定点 P(2 ，2) ．
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）设切点 P ( x0 ，y0 ) ，则 y0  ln x0 ， y0  k x0 ．
0
由 f (x)  1 ，得切线斜率 k  f (x )  1 ．
xx0
 y0  ln x0 ，

由 y
0  k x0
，得 y
0  1，x0
 e ，k  1 ．
e
kx  1
0
所以切点 P 的坐标为( e ，1) ， k  1 ．
e
设 F (x)  f (x)  g(x)  ln x  k x ，
则 F(x)  f (x)  g(x)  1  k  kx 1 ， x (0 ， ) ．
xx
当 k ≤ 0 时， kx  1  0 ， F (x)  0 ， F (x) 的单调递增区间为(0 ， ) ．
00000
对任意实数 M ，都存在实数 x  e M +1 ，使得 f (x )  g(x )  ln x  k x ≥ M  1  M ，
当 k  0 时，
由 F (x)  0 解得0  x  1 ． F (x) 的单调递增区间为( 0
k
1
， ) ．
k
由 F (x)  0 解得 x  1 ． F (x) 的单调递减区间为( 1 ， ) ．
kk
所以在(0 ， ) 上， F (x) ≤ F ( 1 )  ln k 1．
k
存在 M  ln k 1 ，对任意 x (0 ， ) ， f (x)  g(x)  F (x) ≤ M ，不符合题意．
所以 k 的取值范围为( ，0] ．
y
因为 y  t 与 y  ln x ， y  k x 的交点分别为 A，B ，
所以可设 A(x1 ，t) ， B(x2 ，t) ，则t  ln x1 ， t  k x2 ．
B
所以| AB |  | x  x |  | 1 t  x |  | 1 ln x  x |  1 | ln x  k x | (x  0) ．
21k1k11| k |111
y = kx
k
A
y = lnx x
Ⅱk  1
F (x)  ln x  kx
( 0 1 )
( 1 ， )
由（ ）知当 时，
e
在 ， 上单调递增，在
kk
上单调递减．
所以在区间(0 ， ) 上， F (x)  ln x  k x ≤
因为 k  1 ，所以ln k 1  0 ．
e
所以| ln x  k x | ≥ ln k  1 ．
1
F ()
k
 ln k 1 ．
所以| AB | | x
 x |  1 | ln x  k x |≥ ln k 1 ，当且仅当 x  1 时取等号．
21k11k1k
所以当 x  1 ，即t   ln k 时， | AB | 的最小值为 H (k)  ln k 1 ．
1kk
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）集合 A 的所有元素：
1  (0 ，0 ，0 ，0 ，1，1，1，1) ，
8  (1，1，1，1，0 ，0 ，0 ，0) ，
2  (1，1，0 ，0 ，1，1，0 ，0 ) ， 7  (0 ，0 ，1，1，0 ，0 ，1，1) ，
3  (1，0 ，1，0 ，1，0 ，1，0 ) ， 6  (0 ，1，0 ，1，0 ，1，0 ，1) ，
4  (1，0 ，0 ，1，0 ，1，1，0 ) ，
（Ⅱ）   B ，   B ．
5  (0 ，1，1，0 ，1，0 ，0 ，1) ．
因为   1  2  3  (5 ) ，所以   B ．
记i  (xi1，xi2 ， ，xi8 )  A，i  1，2 ， ，8 ，
假设存在 ki  Z ， i  1，2 ， ，8 ，使得  k11  k22  k88 ，则
10  k1x11  k 2 x21  k8x81 ，
9  k1x12  k 2x22  k8x82 ，
7  k1x13  k 2x23  k8x83 ，
5  k1x14  k 2 x24  k8x84 ．相加，得
31  k1(x11  x12  x13  x14 )  k 2 (x21  x22  x23  x24 )  k8 (x81  x82  x83  x84 ) ．
因为 xi1  xi2  xi3  xi4 (i  1，2 ， ，8) 为偶数，等式左右两端奇偶性相反，矛盾．所以  B ．
（Ⅲ）必要性
88
因为  (b1，b2 ， ，b8 )  B ，所以存在 ki  Z 使得  kii  ki (xi1，xi2， ，xi8 ) ．
8
所以bn  ki xin ，n  1，2， ，8 ．
i1
i1
i1
88888
所以b1  b2  b3  b4  ki xi1 ki xi 2
 ki xi3 ki xi 4
 ki (xi1  xi 2  xi3  xi 4 ) ．
i1
i1
i1
i1
i1
又因为 xi1  xi2  xi3  xi4 为偶数， ki  Z (i  1，2 ， ，8) ，所以b1  b2  b3  b4 为偶数．
88888
因为b1  b8  ki xi1
 ki xi8
 ki (xi1
 xi8 )  ki ，同理bm  b9m  ki ，m  2，3，4 ．
i1
i1
i1
i1
i1
所以b1  b8  b2  b7  b3  b6  b4  b5 ．充分性：
因为b1  b2  b3  b4 为偶数，且b1  b8  b2  b7  b3  b6  b4  b5 ， bi  N ，i  1，2 ， ，8 ，
设b1  b2  b3  b4  2S ，S  Z ， b1  b8  b2  b7  b3  b6  b4  b5  K ，K  Z ．因为  (K  S )1  (S  b3  b4 )2  (S  b2  b4 )3  b44  (S  b1)5 ，
且 K  S ，S  b3  b4 ，S  b2  b4 ，b4 ，(S  b1)  Z ，所以  B ．