2026年北京市房山区高三下学期一模数学试卷和答案

这是一份2026年北京市房山区高三下学期一模数学试卷和答案，共9页。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
N 
（1）已知集合 M  { x |  5  x  3}，N  { x | x2  16 } ，则集合 M
（A）{ x |  4  x  3 }
（C）{ x |  4  x  4 }
（B）{ x |  5  x  3 }
（D）{ x |  5  x  4 }
若复数 z 满足i z 1 i ，则| z | 
（A）1（B） 2
2
（C）
（D） 2
2
(1  x)6 的二项展开式中的一项是
x2
（C） 6x2
5x3
（D） 20x3
若直线2x  my  6  0 是圆(x 1)2  ( y  2)2  4 的一条对称轴，则实数m 
（A） 2（B） 4
（C） 6（D） 8
若{a } 是以 d 为公差的等差数列， b  2a 1 (n  N) ，则等差数列{b } 的公差为
nnnn
（A） 2（B） 2d  1
（C） d（D） 2d
已知抛物线C : y2  4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线交于 M ，N 两点，若|MF|  2 ，则
|MN| 
（A） 4（B） 5（C） 6（D） 7
设 ， 是两个不同的平面， l ，m ，n 是三条不同的直线， α  β ，αβ  l ，
m  α ， n  β ，则“ m  n ”是“ l  m 或l  n ”的
充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
2025 年我国新能源汽车产量突破1 600 万辆．某车企研发了一款新型电池，使用t (t ≤15) 年后的容量为 h(t)  0.25e λt  0.75 ，其中 λ 为常数．已知该电池使用3 年后容量衰减为初始(t  0 时) 容量的
90% ．若要保证电池容量不低于初始容量的80% ，则该电池最长可使用约
（参考数据： ln 3  1.10 ， ln 5  1.61 ）
（A） 7 年（B） 8 年
（C） 9 年（D）10 年
a(x  2) ， x  a ，
a2  x2

设0  a  1 ，函数 f (x)  
， a ≤ x ≤ a ，则 f (x)

a(x  2) ，x  a .
是偶函数，且有最大值（B）是偶函数，且没有最大值
（C）是奇函数，且有最大值（D）是奇函数，且没有最大值
已知平面直角坐标系 xOy 中， OA  OB  0 ， | AB | 2 ， C(3，4) ，则CA  CB 的取值范围是
（A）[15 ，35]
（C）[16 ，36]
（B）[15 ，35]
（D）[16 ，36]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
x2  y2 
双曲线
97
1 的离心率为 ．
在平面直角坐标系 xOy 中，角 以Ox 为始边，终边过点 M (1 ， 3 ) ，则sin  
22
；将点 M 绕着
原点O
逆时针旋转 π
3
得到点
N ，则点 N 的纵坐标为 ．
人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某 AI 科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为0.8 ；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为0.3 ，且每次生成
答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为0.9 ，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为 ．
设函数 f (x)  cs(x  π) (  0) ，若 f (x) 在区间(0 ，π) 上有且只有一条对称轴，
3
则 的一个取值为 ．
B1
D
如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，|AB|  2 ，D1C1
A1
点 E 满足 AE  x AB  y AD1 (0 ≤ x ≤1，0 ≤ y ≤1) ，
F 为 AB 的中点，给出下列四个结论：C
3
①若|AE|  |CE| ，则点 E 的轨迹的长度为2；
AFB
6
②若CE  BD1 ，则点 E 的轨迹的长度为；
③若|AE||BE|  6 ，则|EF| 的最小值为2 2 ；
④若|AE||BE|  1 ，则|EF| 的最小值为1 .
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f (x)  2 3sinxcsx  cs2x ．
求 f (x) 的最小正周期和值域；
设△ABC 中， f (B)  2 ， a  5，b  7 ，求△ABC 的面积．
（17）（本小题 14 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中， ABCD 为正方形， CDEF 为矩形， AD  3 ， DE  2 ．
求证： BF // 平面 ACE ；
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体 ABCDEF 存在且唯一确定．求直线 AB 与平面 AEC 所成角的正弦值．
EF
D
条件①： DE  AC ；
条件②： AE  EC ；
条件③： tan DAE  2 ．C
3
AB
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题 13 分）
消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 2 000 名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据
进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 2023-2025 年各季度消费者信心指数数据如下：
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数t [0 ，100) 时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数t [100 ，200) 时，消费者信心处于强信心区间．
假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
2023 年消费者信心指数
115.1
114.6
109.0
108.4
2024 年消费者信心指数
108.4
105.9
95.5
94.7
2025 年消费者信心指数
99.1
95.3
95.8
103.3
从上述 12 个季度中随机抽取 1 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
从 2024 年和 2025 年各随机抽取 1 个季度，记这 2 个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为
X ，求 X 的分布列和数学期望；
2025 年 3 月国家发布《提振消费专项行动方案》．记 2025 年第i 季度消费者信心指数较上一季度的增长率为 xi (i  1，2 ，3，4) ．据估计：2026 年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 x1 ，x2 ，x3 ，x4 中的最大值，写出 2026 年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x)   xe1x ．
求曲线 y  f (x) 在点(2 ，f (2)) 处的切线方程；
设 g(x)  f (x) ，分别讨论函数 f (x) 与 g(x) 在( ， ) 上的单调性；
证明：当0  t  x 时， f (t)  f (x)  f (t  x) ．
（20）（本小题 15 分）
x2y2
6A，C
B ，D
已知椭圆 E : a2  b2  1 (a  b  0) 的离心率为 3 ，
分别是 E 的上、下顶点，
分别是 E 的左、
3
右顶点，且|BD|  2
．设 P (x0 ，y0 ) (x0  0 ，y0  0)
为椭圆 E 上的动点，过点 P 的直线 l 与椭圆有且只有
一个公共点，直线l 与直线 x  a 交于点 M ，直线 AP 与直线CD 交于点 N ．
求椭圆 E 的方程；
求证：直线 MN 与CD 的夹角为定值．
（21）（本小题 15 分）
已知数列{an } : a1，a2 ，a3， ，ak ， k  N  ，若集合{i1 ，i2 ，i3 ， ，ik }  {1，2，3， ，k } ，则称数列
123k
ai ，ai ，ai ， ，ai 为数列{an} 的一个置换．
（Ⅰ）求数列{an } :1，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，64 ，128 的任意置换的前 6 项和的最大值；
已知数列{an } :1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ．写出{an } 的一个置换，使得该置换的前 n 项的和 S n 满足：存在 m  N  ， S 6  2Sm ．对任意 p ， q  R ，数列{ pan  q} 是否也存在一个置换，使得该置换的前 n项的和 S n 满足：存在r  N  ， S 6  2Sr ？说明理由；
在项数为2k  1 (k  N  ) 的数列{cn} 中， cn  N  ，n  1，2 ， ，2k  1 ，证明：“数列{cn} 为常数列”的充要条件为“在数列{cn} 的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 S 2k  2Sk ”．
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（1）A
（2）C
（3）D
（4）B
（5）D
（6）A
（7）C
（8）C
（9）B
（10）A
（11） 4
3
（12） 33
22
（13） 0.75（14）1 (答案不唯一)
（15）① ② ③
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) 
3 sin 2x  cs 2x  2sin(2x  ) ，
6
所以 f (x) 的最小正周期T  2   ．
2
因为 x  R ，所以1≤ sin(2x  ) ≤1， 2 ≤ 2sin(2x  ) ≤ 2 ．
66
所以 f (x) 的值域为[2 ，2] ．6 分
（Ⅱ）因为在△ABC 中，由 f (B)  2 ，得2sin(2B  )  2 ，即sin(2B  )  1 ．
66
11
因为0  B   ，所以  2B  ．
666
2B
所以  ，解得 B  ．
623
由余弦定理b2  a2  c2  2ac cs B ，得72 =52  c2  2  5 c cs  ，即c2  5c  24  0 ．
3
解得 c  8 或c  3 （舍）．
所以△ABC 的面积为 S  1 a  c sin B  1  5 8 3  10
3
.13 分
222
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AB//CD ，且 AB  CD ．因为四边形CDEF 为矩形，所以CD//EF ，且CD  EF ．
所以 AB//EF ，且 AB  EF ．即四边形 ABFE 是平行四边形．所以 AE //BF ，又因为 AE  平面 ACE ， BF  平面 ACE ， 所以 BF // 平面 ACE ．6 分
选择条件①： DE  AC ．
z
E
F
D
C
y
A
x
B
因为四边形CDEF 为矩形，所以 DE  DC ．
DC  C
又因为 DE  AC ， AC，所以 DE  平面 ABCD ．
故 DE  AD .
又因为 ABCD 为正方形，所以 DE ，AD ，DC 两两垂直．如图建立空间直角坐标系 D  xyz ，
则 A(3，0 ，0) ，B(3，3，0) ，C(0 ，3 ，0) ，E(0 ，0 ，2) ， AC  (3，3，0) ，AE  (3，0 ，2) ，AB  (0 ，3，0) ．
设平面 ACE 的法向量为 n  (x ，y ，z) ，则 AC  n  0，
3x  3y  0 ，
 AE  n  0 . 即3y  2z  0 .

令 x  2 ，则 y  2 ，z  3 ，于是 n  (2 ，2 ，3) ．设直线 AB 与平面 AEC 所成角为 ，则
sin  |cs  AB ，n  | 
6 2 17 ．
| AB  n |
| AB || n |
3 17
17
所以直线 AB 与平面 AEC 所成角的正弦值为 2 17 ．14 分
17
选择条件②： AE  EC ．
因为 AE  EC ， AD  CD ， DE  DE ，所以△ADE≌△CDE ．
因为四边形CDEF 为矩形，所以 DE  DC ．
所以ADE  CDE  π ，所以 DE  DA ．
2
又因为 ABCD 为正方形，所以 DE ，AD ，DC 两两垂直．接下来同选择条件①．
（18）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）记事件 A 为：“从上述12 个季度中随机抽取1 个季度，该季度消费者信心处于强信心区间”，上述12 个季度中，消费者信心处于强信心区间的有 2023 年4 个季度，2024 年2 个季度，
2025 年1 个季度，共4  2  1  7 个季度；
估计 P( A)  7
12
．3 分
（Ⅱ） X 的取值范围为{0 ，1，2} ．
从 2024 年 4 个季度中随机抽取1 个季度，消费者信心处于强信心区间的概率为 P  2  1 ；
142
从 2025 年 4 个季度中随机抽取1 个季度，消费者信心处于强信心区间的概率 P  1 ；
24
P( X  0)  (1  1)(1  1)  6  3 ；
24168
P( X  1)  1  (1  1)  (1  1 )  1  1 ；
24242
P( X  2)  1  1  1 ．
248
所以 X 的分布列为：
数学期望 E( X )  0  3  1 1  2  1  310 分
8284
（Ⅲ）111.413 分
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）因为 f (2)  2e12   2 ，所以切点为(2 ， 2) ．
ee
因为 f (x)  (xe1x )  e1x  xe1x  (x 1)e1x ，所以切线斜率 k  f (2)  1 ．
e
所以 f (x) 在点(2 ，f (2)) 处的切线方程为： y  1 x  4 ，即 x  ey  4  0 ．5 分
ee
（Ⅱ） 由 f (x)  0 得 x  1 ， f (x) 在(1， ) 上单调递增；由 f (x)  0 得 x  1 ， f (x) 在( ，1) 上单调递减．
X
0
1
2
P
3
1
1
8
2
8
因为 g(x)  f (x)  (x 1)e1x ，
所以 g(x)  e1x  (x 1)e1x  (2  x)e1x ．
由 g(x)  0 得 x  2 ， g(x) 在( ，2) 上单调递增；
y
f''(x)
O12
y=f'(x)
x
y = f(x)
由 g(x)  0 得 x  2 ， g(x) 在(2 ， ) 上单调递减．10 分
因为 0  t  x ，所以 x  x  t ．
①当 x ≥1 时，1≤ x  x  t ，由（Ⅱ）知 f (x) 在[1， ) 上单调递增，所以 f (x)  f (x  t) ．
因为t  0 ，所以 f (t)  te1t  0 ．所以 f (t)  f (x)  f (t  x) ．
②当0  x  1 时，令 h(x)  f (t)  f (x)  f (x  t) ，则
h(x)  f (x)  f (t  x) ． 0  x  t  x  2 ．
由（Ⅱ）知 g(x)  f (x) 在(0 ，2) 上单调递增，所以 f (x)  f (t  x) ．所以 h(x)  0 ．
所以 h(x) 在(0 ，1) 上单调递减． h(x) 在[0 ，1) 上单调递减．
所以 h(x)  h(0)  f (0)  0 ，即当0  x  1 时， f (t)  f (x)  f (x  t)  0 ． 综上，当0  t  x 时， f (t)  f (x)  f (t  x) ．15 分
（20）（本小题 15 分）
a2  b2
4

 a
解：（Ⅰ）由题设得 c 

 8，
6 ，解得 a 
3
3 ，b  1 ．
所以 E
a2  b2  c2.

1
的方程为 x2  y2  ．5 分
3
（Ⅱ）由 P (x0 ，y0 ) (x0  0 ，y0  0) 在椭圆上，得 x02  3y02  3 ．
依题意可得直线l 的斜率存在，设l 方程为 y  kx  m ．则 m  y0  kx0 ．
 y  kx  m ，
由 2
得， (3k 2 1)x 2  6kmx  3m 2  3  0 ．y

 x  y 2  1
 3
由Δ  0 得， 3k 2  1  m 2  0 ．
3k 2  1  m 2  0 ，
A
ODx
NM

由m  y
0  kx0
P
00 00
， 得9 y k 2  6x y k  x 2  0 ．
x 2  3y 2  3
 00
解得 k  x0
3y0
， m  1 ．
y
0
设 M ( 3 ，yM
) ，由x 
3

 y  kx  m
得， yM
 3k  m  3  x0 ．
3y
0
直线 AP ， CD 的方程分别为： ( y0 1)x  x0 y  x0  0 ， x 
3y  0 ．
3
3
因为点 P 不在直线CD 上，所以 x0  3y0  0 ．
由 ( y0 1)x  x0 y  x0  0 得， y
 x0  3y0  3 ．
3
x  3y  0
Nx  3y 
3
00
( 3  x )(x
 3y
 3) 
3y (x
3y
 3)
3  x 2  3y 2
所以 y
 y  000000  00  0
MN3y (x
3y
3)
3y (x
3y
3)
所以 y M  y N ．
000
000
3
因为 x0  3y0  0 ，所以 MN // x 轴．
又直线CD 的斜率为 k 
3 ，所以直线 MN 与直线CD 的夹角的大小为 π ，为定值．…… 15 分
36
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）数列{an} 的每个置换的前 6 项和 S 6  S8  ai  a j ≤ S8 1 2  253 ．2 分
当置换为 4 ，8 ，16 ，32 ，64 ，128 ，1，2 时， S 6  252 ．
所以 S 6 的最大值为 252 ．4 分
（Ⅱ）数列{an } 的一个置换： 1，3，7 ，2 ，4 ，5 ，6 ，存在m  3 ，使得 S 6  2Sm ．6 分
对任意 p ，q  R ，数列{ pan  q} ，存在一个置换为：
p  q ，3p  q ，7p  q ，2p  q ，4p  q ，5p  q ，6p  q ，存在 r  3 ，使得 S 6  22 p  6q  2Sr ．8 分
（Ⅲ）必要性：
因为数列{cn } 为常数列，每个置换是常数列，存在m  k ， S 2k  2kc1  2Sk ．9 分
充分性：“{cn} 的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 S 2k  2Sk ．”称{cn} 具有性质 P ．
2k 1
由ci  S 2k  S 2k1 ，得ci  2Sk  S 2k1 ．又因为2Sk 为偶数， S N  为定值，
所以数列{cn} 的所有项的奇偶性相同．称{cn} 具有性质Q ．11 分
对具有性质Q 的数列施加变换 M ：若{an} 的所有项均为偶数，令bn
 1 a ；
2 n
若{an} 的所有项均为奇数，令bn
 1 (a
2n
1) ．得到数列{bn} ．
若{an} 的所有项均为偶数， bn
 1 a ，
2 n
则“{an} 具有性质 P ”等价于“{bn} 具有性质 P ”．
又因为 an
 N  ，所以bn
 1 a
2
n  an
．且数列{bn} 具有性质Q ．12 分
若{an} 的所有项均为奇数， bn
 1 (a
2n
1) ，
则“{an} 具有性质 P ”等价于“{bn} 具有性质 P ”．
又因为 an
 N  ，所以bn
 1 (a
2
n 1) ≤ an
，当且仅当 an  1 时取等号．
且数列{bn} 具有性质Q ．13 分
总之，对数列施加变换 M ，数列保持性质 P 和性质Q 不变．
对数列{cn} 施加(cn ) max 1 次变换 M 后，得到常数列{bn}：1，1，1， ，1．14 分
常数列{bn}：1，1，1， ，1，经过(cn ) max 1 次相反的变换： an  2bn 1 或者 an  2bn ，每次得到的数列都是常数列，最终得到数列{cn} ，且数列{cn} 为常数列．15 分