2026届安徽省马鞍山二中、安师大附中高三第三次测评数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省马鞍山二中、安师大附中高三第三次测评数学试卷含解析，共10页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知复数z＝，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（ ）
A．1B．C．2D．4
4．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）
A．B．C．D．
5．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
6．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1B．C．D．0
7．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ）
A．B．C．2D．﹣2
8．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
9．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4)D．[0,4]
10．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
11．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．
14．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．
15．若实数满足不等式组，则的最小值是___
16．（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是，则这五位同学答对题数的方差是____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.
18．（12分）已知函数().
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），直线经过点且倾斜角为.
（1）求曲线的极坐标方程和直线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于，满足为的中点，求.
20．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.
21．（12分）如图，在中，点在上，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的长.
22．（10分）已知函数（是自然对数的底数，）.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．
【详解】
解：分析题意可知，如下图所示，
该几何体为一个正方体中的三棱锥，
最大面的表面边长为的等边三角形，
故其面积为，
故选B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．
2、D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
3、C
【解析】
设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．
【详解】
由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），
∴y1+y2＝p，
又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,
故选C．
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．
4、B
【解析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
5、C
【解析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.
【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，
该几何体的体积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，
所以它们此时的距离为.
故选B.
【点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
7、D
【解析】
化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.
【详解】
因为z＝（1+2i）（1+ai）=，
又因为z∈R，
所以，
解得a＝-2.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为，所以
所以，
又也在直线上，
所以，
解得
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9、B
【解析】
作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
10、B
【解析】
根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
11、A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
12、A
【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，由，解得，
.
所以，当时，取得最大值，
对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.
14、1
【解析】
作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.
【详解】
作出约束条件表示的可行域
是以为顶点的三角形及其内部，
转化目标函数为
当目标函数经过点时，直线的截距最大
此时取得最大值1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.
15、-1
【解析】
作出可行域，如图：
由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）
所以-1
故答案为-1
16、2
【解析】
由这五位同学答对的题数分别是，得该组数据的平均数，则方差．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.
【详解】
因为直线的极坐标方程为，
所以直线的普通方程为，
又因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为，
联立方程,解得或，
因为，所以舍去，
故点的直角坐标为.
【点睛】
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
18、（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；
（2）.
【解析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，
分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;
法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
①当时，由得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立,在上单调递增；
（2）法一: 由得，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
令，
则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，
(*)
当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意
法二:由得，，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意
当时，令，则，所以在上单调递减，
又，当时，，，使得，
当时，，即，
又，，，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
【点睛】
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程，由此可求曲线的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的普通方程，整理得，利用韦达定理，根据为的中点，解出即可.
【详解】
（1）由（为参数）消去参数，
可得，即，
已知曲线的普通方程为，
，，
，即，
曲线的极坐标方程为，
直线经过点，且倾斜角为，
直线的参数方程：（为参数，）.
（2）设对应的参数分别为，.
将直线的参数方程代入并整理，
得，
，.
又为的中点，
，
，，
，即，
，
，
，即，
.
【点睛】
本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）化简得到，分类解不等式得到答案.
（2）的最大值，，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
（1）
因为，故或或
解得或，故不等式的解集为.
（2）画出函数图像，根据图像可知的最大值.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21、 (1) ；（2）.
【解析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．
【详解】
（1）因为，所以.
因为，所以，
所以.
（2）在中，由，得，
在中，由余弦定理可得，
所以.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．
22、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）在上恒成立，只需，注意到；
（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即.
（2），.
因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，
即，
所以，即，又，
故，所以实数的取值范围是.
（3）.
因为函数在区间上有两个极值点，
所以方程在上有两不等实根，即.
令，则，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得且.
又由，所以，
且当和时，单调递增，
当时，单调递减，是极值点，
此时
令，则，
所以在上单调递减，所以.
因为恒成立，所以.
若，取，则，
所以.
令，则，.
当时，；当时，.
所以，
所以在上单调递增，所以，
即存在使得，不合题意.
满足条件的的最小值为-4.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.