2026届安徽省潜山第二中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省潜山第二中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了关于函数，有下述三个结论，已知直线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（ ）
A．B．C．D．大小关系不能确定
3．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．是假命题B．是真命题
C．是真命题D．是假命题
5．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4B．8C．16D．2
8．关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③函数的值域为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
9．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
11．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）
A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个
B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了
C．8月是空气质量最好的一个月
D．6月份的空气质量最差.
12．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．
14．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是
15．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为________.
16．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列， 则的最小值为__________，最大值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为实常数.
（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；
（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
19．（12分）已知函数.
（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
20．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.
21．（12分）已知函数，
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．
22．（10分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
2、B
【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．
【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：，
于是此点取自阴影部分的概率为．
又，故．
故选B．
【点睛】
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．
3、C
【解析】
连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.
【详解】
如图，连接，
椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，
B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，
直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点
为的中位线，
，且，
，
解得椭圆的离心率.
故选：C
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】
举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
当时，故命题为假命题；
记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，
易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，
∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；
∴是假命题
故选D
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．
5、C
【解析】
如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：切点为，连接，作轴于，
，故，
在中，，故，故，，
根据勾股定理：，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
6、B
【解析】
根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.
【详解】
当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，
当时，，令
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为在上有3个零点，
所以当时，有2个零点，
如图所示：
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
7、A
【解析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.
【详解】
.
故选:.
【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.
8、C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.
【详解】
因为，故①错误；
当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
9、D
【解析】
根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】
，故其对应点的坐标为.
其位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.
10、D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
11、D
【解析】
由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．
12、B
【解析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.
【详解】
解：，
一条渐近线
，
故选：B
【点睛】
利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．
【详解】
由题意，
∵函数图象在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，
14、
【解析】
通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案.
【详解】
根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入，
可得，即，由于在线段上，故，即，解得
.
15、
【解析】
根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.
【详解】
由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16、
【解析】
根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果.
【详解】
由，，成等差数列
所以
所以
又
化简可得
当且仅当时，取等号
又，所以
令，
则
当，即时，
当，即时，
则在递增，在递减
所以
由，
所以
所以的最小值为
最大值为
故答案为：，
【点睛】
本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；
（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.
【详解】
（1），根据题意，在内存在单调减区间，
则不等式在上有解，由得，设，
则，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，所以存在，使得成立，
所以的取值范围为。
（2）当时，，则，从而
所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化
为，即，
即，令，则不等式转化为，因为
，则，从而不等式化为，设，则
，所以在上单调递增，所以
即不等式成立，故原不等式成立.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.
18、（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
19、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；
（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.
【详解】
（1）依题意，，，
设切点为，，
故，
故，则；
令，，
故当时，，
当时，，
故当时，函数有最小值，
由于，故有唯一实数根0，
即，则；
（2）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；
由于.
由，解得，.
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
，，
故当或时，直线与曲线在上有两个交点，
即当或时，函数在区间上有两个零点.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则，结合由得到的斜率关系，即可求得斜率的范围.
【详解】
（1）因为动圆与圆外切，并与直线相切，
所以点到点的距离比点到直线的距离大.
因为圆的半径为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以圆心的轨迹为抛物线，且焦点坐标为.
所以曲线的方程.
（2）设，，
由得，
由得且.
，
，同理
由，得，
即，
所以，
由，得且，
又且，
所以的取值范围为.
【点睛】
本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；
（Ⅱ），分①，② ，③ 当时，讨论的零点个数即可．
【详解】
解：（Ⅰ ）令，；
则．
令，
，
易得在递减，在递增，
∴ ，∴在恒成立．
∵ 在递减，在递增．
∴ ．
∵；
（Ⅱ ）∵ 点，点，
∴ ，
．
① 当时，可知，∴
∴ ，，
∴ ．
∴ 在单调递增，，．
∴ 在上有一个零点，
② 当时，，，
∴ ，∴在恒成立，
∴ 在无零点．
③ 当时，，
．
∴ 在单调递减，，．
∴ 在存在一个零点．
综上，的零点个数为1．．
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
22、（1）的值为或.（2）
【解析】
（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，
设点在抛物线准线上的射影为，
则三点共线时，
的最小值为，此时
若线段与抛物线有公共点，即时，
则三点共线时，的最小值为：
，此时
综上，实数的值为或.
因为，
所以轴且
设，则，代入抛物线的方程解得
于是，
所以
【点睛】
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
3
0
+
0
极小值
极大值