2026届安徽省安庆市潜山市第二中学高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省安庆市潜山市第二中学高三最后一卷数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了我国宋代数学家秦九韶，已知，若，则等于，设，则“ “是“”的，下列说法正确的是，若复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必条件
7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）
A．45B．50C．55D．60
8．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件
C．“若，则”是真命题
D．存在，使得成立
9．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）
A．B．1C．D．2
10．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．2D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.
14．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
15．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多______天.
16．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．
18．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.
19．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：
（1）是的中点；
（2）平面平面.
21．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.
22．（10分）已知函数，其中，．
（1）当时，求的值；
（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
2、B
【解析】
利用复数乘法运算化简，由此求得.
【详解】
依题意，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.
3、B
【解析】
复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.
【详解】
，
由其在复平面对应的点在第二象限，
得，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4、C
【解析】
将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.
【详解】
已知，，，
代入，
得，
即 ，
解得，
当时，由余弦弦定理得： ，.
当时，由余弦弦定理得： ， .
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.
5、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
6、B
【解析】
解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，又由，得，
因为集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
7、D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
8、C
【解析】
A：否命题既否条件又否结论，故A错.
B：由正弦定理和边角关系可判断B错.
C：可判断其逆否命题的真假，C正确.
D：根据幂函数的性质判断D错.
【详解】
解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.
B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.
C：“若，则”“若，则”，故C正确.
D：由幂函数在递减，故D错.
故选：C
【点睛】
考查判断命题的真假，是基础题.
9、B
【解析】
先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.
【详解】
因为，所以，
又因为是纯虚数，所以，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.
10、B
【解析】
由题意得,,求解即可.
【详解】
因为,所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.
11、A
【解析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.
【详解】
解：由于，根据导数的几何意义得：
，
即切线斜率，
当且仅当等号成立，
所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
12、A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线C：（，，
可得一条渐近线，一个顶点，
所以，解得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
14、2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15、72
【解析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在内时，甲景点比乙景点多天.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、1
【解析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.
【详解】
①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有种；
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种；
综上，共有种.
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcsθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．
【详解】
解：（1）在ρ+ρcs2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cs2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，
∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（csα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
由△＝16sin2α﹣16cs2α＞0，得sinα＞，
t1+t2＝，由|PM|＝，
所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），
所以sinα＝．
【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
18、（1）；（2）见解析.
【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过，事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【详解】
事件表示男学员在第次考科目二通过，
事件表示女学员在第次考科目二通过（其中）.
（1）事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.
.
（2）的可能取值为400，600，800，1000，1200.
，
，
，
，
.
则的分布列为：
故 (元).
【点睛】
本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由，故，所以四边形为菱形，再通过，证得，所以四边形为正方形，得到.
（2）根据（1）的论证，建立空间直角坐标，设平面的法向量为，由求得，再由，利用线面角的向量法公式求解.
【详解】
（1）因为，故，
所以四边形为菱形，
而平面，故.
因为，故，
故，即四边形为正方形，故.
（2）依题意，.在正方形中，，
故以为原点，所在直线分别为、、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系；
如图所示：
不纺设，
则，
又因为，所以.
所以.
设平面的法向量为，
则，
即，
令，则.于是.
又因为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查空间线面的位置关系、线面成角，还考查空间想象能力以及数形结合思想，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．
【点睛】
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
21、（1）乙同学正确
（2）分布列见解析，
【解析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【详解】
（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，
，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.
，
，
于是“理想数据”的个数的分布列
【点睛】
本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）根据，得到函数，然后，直接求解的值；
（2）首先，化简函数，然后，结合周期公式，得到，再结合，及正弦函数的性质解答即可．
【详解】
（1）因为，所以
（2）因为
即
因为，所以
所以
因为
所以
所以当时，．当时，（最大值）
当时，
在是增函数，在是减函数．
的值域是．
【点睛】
本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
试销价格(元)
产品销量 (件)

400
600
800
1000
1200