2026届安徽省合肥市众兴中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:
①;
② 直线与直线所成角为;
③ 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥的体积为.
其中，正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）
A．B．C．D．
5．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）
A．B．C．D．
7．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
8．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）
A．长轴在轴上的椭圆B．长轴在轴上的椭圆
C．实轴在轴上的双曲线D．实轴在轴上的双曲线
9．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则或
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
10．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
11．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.
14．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.
15．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________．
16．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为的前n项和，求证：.
18．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
19．（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.
20．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
22．（10分）已知等比数列中，，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
【详解】
复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.
2、C
【解析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；
连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；
直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；
过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形．所以③不正确；
如图：
三棱锥的体积为：
由条件易知F是GM中点，
所以,
而，
．所以三棱锥的体积为，④正确；
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
3、B
【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
，故奇函数，四个图像均符合。
当时，，，排除C、D
当时，，，排除A。
故选B。
【点睛】
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
4、B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
，
则，，取，
，则，
，，可得，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.
5、A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
6、B
【解析】
根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.
【详解】
，.运行第一次，，不成立，运行第二次，
，不成立，运行第三次，
，不成立，运行第四次，
，不成立，运行第五次，
，成立，
输出i的值为11，结束.
故选：B.
【点睛】
本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.
7、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．
【详解】
解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，
方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，
故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．
9、D
【解析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.
【详解】
选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；
选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；
选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；
选项D，若，，有可能，故D不正确.
故选：D
【点睛】
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.
10、D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
11、C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.
【详解】
依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.
12、A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求角，再用余弦定理找到边的关系，再用基本不等式求的范围即可.
【详解】
解：
所以三角形周长
故答案为：
【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
14、
【解析】
先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.
【详解】
依题意可得，由正弦定理得，即，由图可
知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，
，在三角形ADC中，由正弦定理得即，
所以，，故，，，故的面积为
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.
15、
【解析】
解法一：曲线上任取一点，利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值；
解法二：曲线函数解析式为，由求出切点坐标，再计算出切点到直线的距离即可所求答案.
【详解】
解法一（基本不等式）：在曲线上任取一点，
该点到直线的距离为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，曲线上任意一点到直线距离的最小值为；
解法二（导数法）：曲线的函数解析式为，则，
设过曲线上任意一点的切线与直线平行，则，解得，
当时，到直线的距离；
当时，到直线的距离.
所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算，可转化为利用切线与直线平行来找出切点，转化为切点到直线的距离，也可以设曲线上的动点坐标，利用基本不等式法或函数的最值进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即，；
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点时，此时，
直线：，与：的交点为，
该点也在直线：上，故，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用与的关系即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解析：（1）当时，；
当，，可得，
又∵当时也成立，；
（2），
【点睛】
本题主要考查了与的关系、裂项求和法，属于基础题.
18、（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|
，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
【点睛】
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据离心率以及，即可列方程求得，则问题得解；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的，即可求得参数，则三角形面积得解.
【详解】
（1）设，由题意可得.
因为是的中位线，且，
所以，即，
因为
进而得，
所以椭圆方程为
（2）由已知得两边平方
整理可得.
当直线斜率为时，显然不成立.
直线斜率不为时，
设直线的方程为，
联立消去，得，
所以，
由得
将代入
整理得，
展开得，
整理得，
所以.即为所求.
【点睛】
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.
（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.
（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【详解】
（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，∴，
∴的前项和.
（2）证明：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是
（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，∴，
∴是一个单调递增数列，∴，，
∴，
∴，∴是等差数列，
当时，则必有，∴，
∴是一个单调递减数列，∴，，
∴，
∴.∴是等差数列，
当时，，
∵，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴，，
∴数列是常数数列，则数列是等差数列.
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•lg2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．
【详解】
(1)设数列的公比为，
由题意知：，
∴，即.
∴，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得
∴.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．