初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）第5章 特殊平行四边形5.3 正方形教学课件ppt

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）第5章 特殊平行四边形5.3 正方形教学课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，旧知复习，正方形的判定，情境引入，新知探究，正方形的对称性，典例分析，变式训练，5cm，课堂练习等内容，欢迎下载使用。
理解正方形的性质定理，掌握正方形在边、角、对角线及对称性方面的核心特征，能准确描述其区别于其他平行四边形的几何属性。
掌握正方形性质的应用条件，会根据已知条件（如边长、角度、对角线关系），灵活运用性质定理进行线段计算、角度推导或几何证明。
体会正方形性质的综合性，理解正方形是矩形与菱形性质的“集合体”，能初步运用其性质解决简单的几何问题，建立图形间的联系思维。
提问：“这些图形有什么共同特征？我们小学学过正方形，它和之前学的平行四边形、矩形、菱形有什么关系？”
用直尺和圆规画一个“有一组邻边相等的矩形”，再画一个“有一个角是直角的菱形”，观察画出的图形，提问：“这两个图形有什么共同点？”
学生分组讨论，结合操作结果和旧知，猜想正方形的定义
正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
提问：“正方形是特殊的平行四边形吗？是特殊的矩形吗？是特殊的菱形吗？为什么？”
将平行四边形的一个角边长90°，则为矩形
矩形的两个邻边相等时为正方形
平行四边形两邻边相同是为矩形
菱形的一个角等于90°时为正方形
提出猜想 猜想1（角）：正方形的四个角都是直角。
已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：∠A = ∠B = ∠C= ∠D
证明：∵正方形是特殊的平行四边形，且正方形有一个内角是直角，设∠A=90°。∵平行四边形邻角互补，∴∠A+∠B=180°,∠B=180°-90°=90°。∵平行四边形对角相等，∴∠C=∠A=90°,∠D=∠B=90°。∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
提出猜想 猜想2（边）：四条边相等
已知：如图，四边形ABCD是正方形，求证：AB=BC=CD=DA
证明：∵正方形是特殊的平行四边形，∴平行四边形对边相等，∴AB=CD,AD=BC。又∵正方形定义：有一组邻边相等的平行四边形，设AB=AD。∴AB=AD=BC=CD,即AB=BC=CD=DA。
提出猜想 猜想3（对角线）：正方形的对角线相等
已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AC=BD
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,又BC=CB(公共边)△ABC≌△DCB(SAS)∴AC=BD。
提出猜想 猜想4（对角线）：正方形的对角线垂直平分
已知：如图，四边形ABCD是正方形，连接AC、BD相交与O，求证：AO=CO, BO=DO, AC⊥ BD
同学们可以自己在草纸上证明一下哟
例题1. 如图，点P为正方形ABCD内一点，连接PB、PC、PD,若PB=PD,求证：∠ABP=∠ADP.
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°,又∵PB=PD,PC=PC,∴△PBC≌△PDC(SSS),∴∠PBC=∠PDC,∴∠ABC-∠PBC=∠ADC-∠PDC,∴∠ABP=∠ADP.
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE。求证BE=DF
证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°,∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF,Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF.
例题2.如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE,则∠BEC的度数是 。
解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD,∴∠BAE=45°.∵AB=AE,∠ABE=∠AEB=（180°-45°）÷2=67.5°又∵∠AEB+∠BEC=180°,∴∠BEC=180°-67.5°=112.5°.
如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边在右侧作菱形BDEF，点E、F分别在AD、BC的延长线上，连接BE，则DBE的度数为 。
例题3.如图所示是边长为12cm的正方形纸片ABCD,点P为边BC的中点，折叠纸片使点A落在点P处，折痕为MN,则AM的长为 。
如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN,再一次折叠纸片，使点B落在MN上的点H处，折痕为AE,则∠HBC的度数为 。
例题4.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF，连接DE,AF.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠B=∠BAD=90°,又∵AE=BF,∴△BAF≌△ADE(SAS),∴DE=AF;
(1)求证：DE=AF.
(2)解：∵△BAF≌△ADE,∴∠BAF=∠ADE,∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BAF=90°,∴∠EGF=∠AED+∠BAF=90°.
(2)求∠EGF的度数.
1.下列说法错误的是( )A.平行四边形的对边相等B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C.矩形的对角线互相垂直平分D.菱形的每条对角线平分一组对角
2 .如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A．BD=CD B．DC=BC C．∠AOB=60° D．OC=CD
3 . 如图，在正方形ABCD中，∠DAF=35°,AF交BD于点E,则∠BEC的度数为 .
4 .如图，正方形ABCD的面积为4，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH的面积为____.
5 .如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC,连接PA,则∠PAB= 。
6 . 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且∠AEF=∠AFE，求证 BE=DF
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°,∵∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,AE=AF,Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF.
7 . 如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点(不与点B C重合)，∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G
(1)证明：∵正方形ABCD,∠ABE=90°,∵FG ⊥BC,∠EGF=90°,∠ABE=∠EGF,∵∠1=∠2,AE=EF,△ABE≌△EGF(AAS);
(1)求证：△ABE≌△EGF;
(2)证明：∵正方形ABCD,∴∠ABE=90°∴∠1+∠AEB=90°,又∠1=∠2∴∠2+∠AEB=90°∴∠AEF=90°即AE⊥EF
(2)求证：AE⊥EF.
边的性质：①两组对边分别平行(它是平行四边形)②四条边都相等(兼具菱形的边的特征)角的性质：①对角相等；②邻角互补；③四个角都是直角(这是正方形最独特的角的性质)
对角线的性质：①对角线互相平分(它是平行四边形)②对角线互相垂直(兼具菱形的对角线特征)③每一条对角线平分一组对角(兼具菱形的对角线特征)④对角线相等(兼具矩形的对角线特征)⑤对角线与边的夹角为45°(正方形独有的性质)