新疆维吾尔自治区2026年高考数学三模试卷（含答案解析）

这是一份新疆维吾尔自治区2026年高考数学三模试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了已知集合，，则为，若直线不平行于平面，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2．为得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
3．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，则为( )
A．B．C．D．
5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
6．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内所有直线与异面
B．内只存在有限条直线与共面
C．内存在唯一的直线与平行
D．内存在无数条直线与相交
7．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．12B．C．D．10
9．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A．08B．07C．02D．01
10．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______.
14．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
因为所以不是函数的周期；
对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；
“”是“”成立的充分必要条件；
若实数满足则．
15．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.
16．已知集合，，则_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有.
（1）求证：数列是等差数列
（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.
19．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
20．（12分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.
当时，求的值；
利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.
21．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．
（1）证明：点始终在直线上且；
（2）求四边形的面积的最小值．
22．（10分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.
【详解】
，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.
2．D
【解析】
试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．
考点：三角函数的图像变换．
3．D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
4．C
【解析】
分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.
【详解】
因为集合，，
所以
故选：C
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.
5．B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，
故选：B
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
6．D
【解析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.
【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
7．C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.
【详解】
依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.
故选：C
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.
8．C
【解析】
取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，
故选：C.
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
9．D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
10．B
【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位，
得到，
此时与函数的图象重合，
则，即，，
当时，取得最小值为，
故选：．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．
11．C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．32
【解析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人，
则分层抽样的样本容量是人.
故答案为：32
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
14．
【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.
对②,根据偶函数满足的性质判定即可.
对③,举出反例判定即可.
对④,求解不等式再判定即可.
【详解】
解：因为当时,
所以由周期函数的定义知不是函数的周期,
故正确；
对于定义在上的函数,
若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,
故正确；
当时不满足
则“”不是“”成立的充分不必要条件,
故错误；
若实数满足
则
所以成立,
故正确．
正确命题的序号是．
故答案为：．
本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.
15．①③④
【解析】
先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵，∴曲线在点处的切线方程为，
则.
∵，∴，
则是首项为1，公比为的等比数列，
从而，，.
故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
16．
【解析】
由集合和集合求出交集即可.
【详解】
解：集合，，
.
故答案为：.
本题考查了交集及其运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解：（1），
，
是首项为，公比为的等比数列．
所以，．
（2）
.
本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得，然后将用，，表示出来，根据是一个整数，可得结果．
【详解】
解：（1）令，，则
即
∴，∴成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列是等差数列，
假设成等差数列，其中，公差为，
令，，
∴
，
∴，
即，
∴成等差数列，
∴数列是等差数列；
（2），
，
若存在正整数，使得是整数，
则
，
设，，
∴是一个整数，
∴，从而
又当时，有，
综上，的最小值为．
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．
19．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
20．；证明见解析.
【解析】
当时，集合共有个子集，即可求出结果；
分类讨论，利用数学归纳法证明.
【详解】
当时，集合共有个子集，所以；
①当时，，由可知，，
此时令，，，，
满足对任意，都有，且；
②假设当时，存在有序集合组满足题意，且，
则当时，集合的子集个数为个，
因为是4的整数倍，所以令，，，，
且恒成立，
即满足对任意，都有，且，
综上，原命题得证.
本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.
21．（1）见解析（2）最小值为1．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，由此求得点的坐标.写出直线的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线上，且.
（2）设直线的倾斜角为，求得的表达式，求得的表达式，由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
【详解】
(1)∵动圆过定点，且与直线相切，∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：，
设，∴直线的方程为：，即：①，同理，直线的方程为：②，
由①②可得：，
直线方程为：，联立可得：，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：，
，
∴四边形的面积为：，当且仅当或，即时取等号，∴四边形的面积的最小值为1.
本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中四边形面积的最值的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（1）或； （2）.
【解析】
（1）利用绝对值的几何意义，将不等式，转化为不等式或或求解.
（2）根据-2在R上恒成立，由绝对值三角不等式求得的最小值即可.
【详解】
（1）原不等式等价于
或或，
解得：或，
∴不等式的解集为或.
（2）因为-2在R上恒成立，
而，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
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