2026届安徽省阜阳市高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届安徽省阜阳市高三最后一模数学试题含解析，共7页。试卷主要包含了已知复数，为的共轭复数，则，已知，则的大小关系为，已知直线，已知满足，则的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设（是虚数单位），则（ ）
A．B．1C．2D．
2．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
8．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020B．20l9C．2018D．2017
9．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
10．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ）
A．8B．7C．6D．5
11．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
14．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.
15．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
16．设命题：，，则：__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
18．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，
19．（12分）已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，且，证明：.
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.
21．（12分）已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最小值，若实数，，满足，求的最小值.
22．（10分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）判断与平面的位置关系，并证明.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出，即可根据复数的模计算公式求出．
【详解】
∵，∴．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，
属于容易题．
2、C
【解析】
根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.
【详解】
由于数列是等比数列，所以，由于，所以
，故“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
3、C
【解析】
求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
4、A
【解析】
根据指数函数的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，将与对比，即可求出结论.
【详解】
由题知，
，则.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
5、D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
6、C
【解析】
设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
解：设，则的几何意义为点到点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；
取所有负值都成立；
当过点时，取正值中的最小值，，此时；
故的取值范围为；
故选：C.
【点睛】
本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．
7、B
【解析】
设，则，，
因为，所以．若，则，所以，
所以，不符合题意，所以，则，
所以，所以，，设，则，
在中，易得，所以，解得（负值舍去），
所以椭圆的离心率．故选B．
8、B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
9、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
10、B
【解析】
根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）； A（甲，丁）B（丙）C（乙）； A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.
11、B
【解析】
分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.
详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有；
记执行第次循环时，的值记为有，则有.
令，则有，故
，故选B.
点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.
12、D
【解析】
由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解
【详解】
根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.

故选：D
【点睛】
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.
【详解】
由题：函数在区间内有且仅有两个零点，
，
等价于函数恰有两个公共点，
作出大致图象：
要有两个交点，即，
所以.
故答案为：
【点睛】
此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.
14、
【解析】
计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.
【详解】
，所以，所以.
故答案为：-8
【点睛】
此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.
15、
【解析】
分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
【点睛】
本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.
16、，
【解析】
存在符号改任意符号，结论变相反.
【详解】
命题是特称命题，则为全称命题，
故将“”改为“”，将“”改为“”，
故：，.
故答案为：，.
【点睛】
本题考查全(特)称命题. 对全(特)称命题进行否定的方法：
(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【点睛】
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
18、（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.
【解析】
（1）根据散点图的特点，可得更适合；
（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；
（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；
（2）
由公式可得：，
，
所以所求回归直线方程为：；
（3）根据题意，设，
则煤气用量，
当且仅当时，等号成立，
即时，煤气用量最小.
【点睛】
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.
19、（1）极大值为；极小值为；（2）见解析
【解析】
（1）对函数求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
（2）构造函数,求导并判断单调性可得,从而在上恒成立,再结合,,可得到,即可证明结论成立.
【详解】
（1）函数的定义域为,,
所以当时,;当时,,
则的单调递增区间为和,单调递减区间为.
故的极大值为;的极小值为.
（2）证明:由（1）知,
设函数,
则,
,
则在上恒成立,即在上单调递增,
故,
又,则,
即在上恒成立.
因为,所以,
又,则,
因为,且在上单调递减,
所以,故.
【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.
20、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；
（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.
【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O，E分别是AC，PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，
又∵OE平面PBC，PC平面PBC，
∴OE∥平面PBC；
（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴S△ABD，
∴三棱锥E﹣PBD的体积
.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）因为函数定义域为，即恒成立，所以恒成立
由单调性可知当时，有最大值为4，即；
（2）由（1）知，，
由柯西不等式知
所以，即的最小值为.
当且仅当，，时，等号成立
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22、（1）见解析（2）平面.见解析
【解析】
（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.
【详解】
（1）
，为边的中点，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
，
在内，，为所在边的中点，
，
又，，
平面.
（2）判断可知，平面，
证明如下：
连接交于点，连接.
、、分别为边、、的中点，
.
又是的重心，
，
，
平面，平面，
平面.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100