2026届安徽省凤阳县二中高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省凤阳县二中高三最后一卷数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知函数，的展开式中的系数是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，定义集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
4．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
5．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
6．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )
A．国防大学，研究生B．国防大学，博士
C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生
8．的展开式中的系数是（ ）
A．160B．240C．280D．320
9．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
10．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．已知,则 ( )
A．B．C．D．
12．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，若，则的范围为________.
14．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．
15．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是
丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”
可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
16．满足约束条件的目标函数的最小值是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
18．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
19．（12分）如图，已知在三棱台中，，，.
（1）求证：；
（2）过的平面分别交，于点，，且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为，几何体为棱柱，求的长.
提示：台体的体积公式（，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.
20．（12分）已知函数.
（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；
（2）设数列，其前项和为，证明：.
21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C交于A，B两点，，求的值.
22．（10分）已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2、C
【解析】
根据定义，求出，即可求出结论.
【详解】
因为集合，所以，
则，所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
3、C
【解析】
根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．
4、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
5、B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
6、B
【解析】
求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．
【详解】
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，
因此要使函数有两个零点，则，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．
7、C
【解析】
根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.
【详解】
由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；
则丙来自军事科学院；
由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；
由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，
故丙为学士.
综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.
故选：C.
【点睛】
本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.
8、C
【解析】
首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.
【详解】
由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.
故选：C
【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
9、D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
10、D
【解析】
根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.
【详解】
根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.
11、B
【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【详解】
，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
12、C
【解析】
讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.
【详解】
解：当时，，由开口向上，则恒成立；
当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，
若 时，要使得恒成立，则 ，即 .
所以“”是“恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
借助正切的和角公式可求得，即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由，借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.
【详解】
，
所以，
.
因为，所以，
所以.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.
14、13
【解析】
根据题意得到：a=0,b=1,i=2
A=1,b=2,i=4,
A=3,b=5,i=6,
A=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的b值为13.
故答案为13.
15、A或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是；
假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是．
故第4个盒子里面放的电影票为或．
故答案为：或
【点睛】
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
16、-2
【解析】
可行域是如图的菱形ABCD，
代入计算，
知为最小.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
【点睛】
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18、（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）2
【解析】
（1）在中，利用勾股定理，证得，又由题设条件，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到；
（2）设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为，根据棱台的体积公式，列出方程求得，得到，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，，
所以，可得，
因为，可得.
又由，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，可得，
令，，
设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为，
则，整理得，
即，解得，即，
又由，所以.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用，以及几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1），分，，三种情况推理即可；
（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.
【详解】
（1）由，得.
当时，方程的，因此在区间
上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.
又，所以函数在区间上恒成立；
当时，方程有两个不等实根，且满足，
所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间
上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；
当时，在区间上，函数在区间
上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；
综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.
（2）由第（1）知：若时，.
若，则，
即成立.
将换成，得成立，即
，
以此类推，得，
，
上述各式相加，得，
又，所以.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.
21、（1）；（2）20
【解析】
（1）利用即可得到答案；
（2）利用直线参数方程的几何意义，.
【详解】
解：（1）由，得圆C的直角坐标方程为
，即.
（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得，
即，设两交点A，B所对应的参数分别为，，
从而，
则.
【点睛】
本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）由公比表示出，由成等差数列可求得，从而数列的通项公式；
（2）求（1）得，然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解．
【详解】
（1）∵是等比数列，且成等差数列
∴，即
∴，解得：或
∵，∴
∵
∴
（2）∵
∴
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．