江苏省南京市2025-2026学年高二第二学期期中学情调研数学试题

这是一份江苏省南京市2025-2026学年高二第二学期期中学情调研数学试题，共40页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点，向量，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则（ ）
A. -2B. -1C. 2D. 1
3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则正整数的值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
4.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若且，则B.
C. 若，且，则D.
5.在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（ ）
A. B. C. D.
6.定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（）
A. 21B. 16C. 11D. 6
7.已知空间向量，若共面，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
8.下列结论正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示，在正四面体中，，则（ ）
A. B.
C. 在平面内的投影向量为D. 在平面内的投影向量为
10.已知，则（ ）
A. B.
C. D. 除以5所得的余数是3
11.已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（ ）
A. B. 平面
C. 四边形为正方形D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，项的系数为 ．
13.甲､乙等5名同学站成一排，其中甲､乙相邻且甲在乙的左边，不同的排法种数是 .（用数字填空）
14.阅读材料：平面直角坐标系中，直线可以用关于的二元一次方程表示，点到该直线的距离；空间直角坐标系中，平面可以用关于的三元一次方程表示，点到该平面的距离.若在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到平面的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在正方体中，分别是棱的中点.
(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图，在中，平面分别是线段的中点．
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)求点到平面的距离．
17.(本小题15分)
在二项式的展开式中，求：
(1)所有二项式系数的和；
(2)所有的有理项；
(3)系数最大的项.
18.(本小题17分)
某公司为包括甲､乙在内的6名本科毕业生面试准备了包括房间的3个不同的面试室，且所有学生都参加面试，求符合下列各小题要求的不同安排方法.
(1)所有学生任意选择房间；
(2)若甲､乙有且只有1人在房间，房间安排三人，其他每个房间至少安排一人；
(3)恰有一个房间没有学生.
（需写出必要的文字叙述､列式过程和计算步骤，并用数字作答.）
19.(本小题17分)
如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)设平面平面，若点在线段上运动，且，当直线与平面所成角取最大值时，求的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】10
13.【答案】24
14.【答案】 /
15.【答案】解：（1）方法一：在正方体中，因为平面，
又平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，且平面，
所以平面，又因为平面，
所以.
方法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，则，
，所以
，
所以，即.
（2）方法一：取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以，
而，所以，
所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角，
设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为，
计算得，
所以由余弦定理得
所以异面直线与所成角的余弦值为.
方法二：
因为分别是棱的中点，所以，所以，
设异面直线与所成的角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.

16.【答案】解：（1）因为平面，
所以以点为坐标原点，为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
分别是线段的中点，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
（2），
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，所以，
点到平面的距离，
所以点到平面的距离为．

17.【答案】解：（1）所有二项式系数的和为.
（2）展开式的通项为.
所以当时，为有理项，所以；
;；
（3）由（2）知，，
设第项系数最大，所以，
整理得即，
解得，而，则，
所以系数最大的项是第3项：.

18.【答案】解：（1）所有学生任意选择房间，即每个学生都有3种选择，
根据分步计数原理，方法数有种.
（2）首先选择去房间的人，先从甲､乙中任选一人，有种选法，
再从剩余四人中任选2人，有种选法，
剩下的三人去剩下的两个房间，只有一个房间1人，另一个房间2人这一种分组方式，共有种选法，
将该分组进行排列，有种排列方法，
根据分步计数原理，方法数有种.
（3）恰有一个房间没有学生，即只有两个房间有学生，共有三种分组方式，
分别为1个房间1人，1个房间5人，或1个房间2人，1个房间4人，或两个房间3人
因此三个房间进入学生数有如下分配：
①按分配，方法数有种；
②按分配，方法数有种；
③按分配，方法数有种，
根据分类计数原理，方法数有种.

19.【答案】解：（1）因为底面是菱形，所以，
又因为平面平面，
所以平面．
（2）因为平面，
在菱形中，，所以，则为等边三角形，
取中点，所以，又，所以，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
平面的一个法向量为，
，
设平面的一个法向量，
所以，即，
取，则，所以，
所以，
由图可知平面与平面所成角为锐角，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
（3）由（1）知，平面，且平面平面，
可得，故直线的方向向量可取为
点在线段上运动，，
而当时，点在点处，此时在平面内，所成角为0，不可能为最大值，
所以，
，
，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
取，则，
所以，
设直线与平面所成角为，要使最大，即最大，
所以，
因为函数在上单调递减，
所以，则，
所以当时，取到最大值，
所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为．