江苏省南京市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试题（Word版附答案）

这是一份江苏省南京市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量．若，则实数（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
3．在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5，则密码被破译的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8
6．若直线与抛物线：交于，两点，且线段中点的横坐标为2，则直线的斜率为（ ）
A．-1B．C．1D．2
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
8．若圆上存在点，其关于轴的对称点在圆上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的（ ）
A．中位数为4B．平均数为5
C．方差为D．60百分位数为4
10．已知为锐角，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．曲线与直线没有公共点
C．点到点距离的最小值为
D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为
三、填空题
12．两条直线与间的距离为 ．
13．已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为 ．
14．已知正方体的棱长为2，则以为球心，2为半径的球面与正方体的截面的交线长为
四、解答题
15．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求．
16．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线交圆于另一点，连接．若，求直线的方程．
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．

(1)证明：平面；
(2)若平面，且，求点到平面的距离．
18．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为是上的动点．当轴时，的面积为1．
(1)求的方程；
(2)设过且与直线垂直的直线交于点（不在轴上），直线交轴于点，记．
①求的值；
②证明：平分．
19．已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点．
(1)求的方程；
(2)当时，求的方程；
(3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1．D
根据复数的除法运算即可得到答案.
【详解】.
故选：D.
2．B
由平面向量垂直的向量形式求解.
【详解】由，得，
得，得，
故选：B
3．C
首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.
【详解】连接．

因为为正方体，所以，
则是异面直线和所成角．又,
可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，
故选：C
4．A
根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果.
【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆.
则必有，解可得：.
即m的取值范围是.
故选：A.
5．C
设甲乙译出密码的事件，利用独立事件和互斥事件求解即可.
【详解】设甲译出密码为事件，则，甲没有译出密码为事件，，
设乙译出密码为事件，则，乙没有译出密码为事件，，
设密码被破译为事件，则密码未被破译为事件，，
，，，
.
故选：C.
6．C
设直线方程为，与抛物线联立得：，再根据线段中点的横坐标为2，得，从而求出斜率.
【详解】依题意，直线斜率存在，设直线方程为，
与抛物线联立得：，
设，，
由韦达定理得：，
又因为线段中点的横坐标为2，
得，
所以，
故选：C.
7．B
利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率.
【详解】
如图所示，由已知得，且，，
则
又由双曲线定义可知，即，而，
可得，即，解得（舍）或，
所以离心率，
故选：B.
8．A
求出圆关于轴的对称圆的方程，与圆的圆心距为，即，即可得到答案.
【详解】圆关于轴的对称圆为圆，其方程为，
根据题意，圆与圆有交点，又圆与圆的圆心距为，
要满足题意，只需，解得
故选：A.
9．AC
根据中位数，平均数，方差，百分位数概念求解即可.
【详解】由题知：中位数为4，故A正确，
平均数，故B错误，
方差，
故C正确，
，第60百分位数为5，故D错误.
故选：AC
10．BCD
利用两角和差的余弦公式先求出可判断B；再由同角的三角函数关系可得A；由二倍角的正弦公式可得C；利用和角的正切公式可得D.
【详解】对于A、B，，则，
，故A错误，B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，
由，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D.
【详解】对于A，由，
由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支，
且，则，，所以，
所以曲线C的方程为，故A正确；
对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确；
对于C，设，则，
点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确；
对于D，因为，所以直线为，设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
所以的周长为.故D正确.
故选：ABD.
12．
根据平行线间的距离公式求解即可.
【详解】.
故答案为：
13．
首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可.
【详解】由题知：，则，
，则，解得，
将代入得到，
所以的面积为.
故答案为：
14．
平面与球面相交所形成的交线形状应为圆，由对称性可知本题的交线形状应为半圆，再求结论.
【详解】

由对称性可知，以为球心，2为半径的球面与棱长为2的正方体的截面的交线为以为直径的半圆，
该半圆的半径,
因此交线长.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）根据题意得到，再利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据题意得到，再利用正弦定理求解即可.
【详解】（1），
所以，又，
所以
（2），，，
，
因为，
.
16．(1)
(2)
（1）首先求出的中垂线方程为，联立，再求半径即可得到答案.
（2）首先根据，得到在线段的中垂线上，从而得到，即可得到答案.
【详解】（1），则的中垂线方程为，
，.
则圆
（2）如图所示：
因为，所以在线段的中垂线上，
又因为线段的中垂线过，，
则，，整理得：
17．(1)证明见解析
(2)
（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证；
（2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可.
【详解】（1）取的中点，连结，

因为是中点，所以，且，
因为四边形为平行四边形，所以，
又因为，所以，
所以，因此四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）作于，由（1）知平面即为平面，

因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，所以平面，
所以即为点到平面的距离。
因为平面，平面，所以
在中，，
所以，
所以.
18．(1)
(2)①2 ②证明见解析
（1）利用三角形的面积建立方程求出即可得出抛物线方程；
（2）①根据垂直关系可写出的斜率，得出点坐标，得到直线的方程即可求出直线截距得解；②利用抛物线的性质求解 ，由等腰三角形即可求证.
【详解】（1）当轴时，，代入，
可得，
所以 ，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①由（1）知，的方程为,
因为在抛物线上，即，
所以
因为，所以，解得，
所以,
由的方程为，得
令，可得，所以.
②记直线与轴的交点为，由①可知为的中点.
由抛物线的定义可得，
在直线中，令，可得
于是，
所以平分.
19．(1)
(2)或.
(3)答案见解析
（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可.
（3），，从而得到，再结合韦达定理求即可.
【详解】（1）由题知：，即：
（2）设直线，，，
则，
方程的判别式
，，
，
因为，所以，
即
.
解得，即.
所以直线或.
（3）如图所示：
，，
令，则，即.
，
，
因为，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
C
C
B
A
AC
BCD
题号
11









答案
ABD