陕西省西安市重点高中2025-2026学年高一下学期4月期中考质量检测试题 数学（含解析）

这是一份陕西省西安市重点高中2025-2026学年高一下学期4月期中考质量检测试题 数学（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A．五棱锥B．三棱台
C．三棱柱D．四棱锥
2．（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
6．已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，，且，，则
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，，则
C．若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线
D．若，则
11．如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．平面平面D．平面平面
三、填空题
12．已知复数满足，则在复平面内对应的点形成区域的面积为________．
13．将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______.
14．在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.
四、解答题
15．已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．
(1)求复数z；
(2)求的模．
16．已知平面向量满足，其中.
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求向量与的夹角的大小.
17．如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
18．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
19．在中，内角的对边分别是，记的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，分别为的中线和角平分线.
（i）若的面积为，求的长；
（ii）求长的最大值.
参考答案
1．A
【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，
故选：A
2．B
【详解】.
故选：B
3．C
【详解】，，
得到，解得，故C正确.
故选：C．
4．A
【详解】在中，由正弦定理可得，
又因为，可得，即，所以.
故选：A
5．C
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
则有，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
6．A
【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；
对于B，若则或，故B错误；
对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误；
对于D，若，且，则，或，故D错误，
故选：A.
7．D
【详解】解：∵


，
故选D．
8．B
【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即.
又，，，，即.
又，，.
由余弦定理得.
，，有，，.
中，且，，，
.
因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值.
，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值.
故面积取最大值时，.
9．BD
【详解】对于A,故A错误，
对于B，则，故，故B正确，
对于C，为虚数，故C错误，
对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：BD
10．AB
【详解】对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；
对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确；
对于C，令，，，有，而共线，C错误；
对于D，令，，，有，而，D错误.
故选：AB
11．ABC
【详解】过点、、的截面如图所示（、、均为中点），
所以直线与截面交于点点，故A项错误；
直线与直线在平面必定相交，故B项错误；
直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误；
因为、分别为、的中点，则，
因为平面，平面，则平面，
同理可证平面，
因为，、平面，故平面平面，D对.
故选：ABC.
12．
【详解】的几何意义为对应的点到原点的距离，区域为以原点为圆心半径分别为1和2的圆环，
故所求区域面积．
故答案为：．
13．
【详解】设铁球的半径为r，则圆柱的高为2r，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．
故答案为：
14．3
【详解】记，又，所以，所以，
解得.
故答案为：3
15．(1)
(2)
【详解】（1）设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数.
（2）由（1）可知复数，则，
所以的模为.
16．(1)9
(2)
【详解】（1）因为，又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
，
所以向量与夹角的余弦值为，
又由，可得.
17．(1)证明见祥解
(2)证明见祥解
【详解】（1）证明：如图，连接.

在正方体中，，所以，
又，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
，所以四点共面；
（2）证明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三点共线.
18．(1)见解析
(2)
【详解】（1）连接，分别是中点，，平面，平面，平面.
在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面.
又，平面，平面平面，平面，平面.
（2）过作交于点.
直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面.
，，又为中点，.
.
.
19．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
（2）（i）由，得，
由余弦定理得，
所以，
因为为的中线，
所以，
则，
所以；
（ii）由余弦定理得，
所以，
因为为的角平分线，所以，
由，得，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以当时，取得最大值，
即长的最大值为.