2026届河南省平顶山市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届河南省平顶山市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设等差数列的前项和为，若，则，已知，则的取值范围是，已知复数满足，，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（ ）
A．B．C．D．
2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
3．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．23B．25C．28D．29
8．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
10．已知复数满足，(为虚数单位)，则( )
A．B．C．D．3
11．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
12．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，那么______.
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.
15．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________.
16．如图，直线是曲线在处的切线，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.
19．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程中， ，.
20．（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
21．（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
22．（10分）已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得 ，在 及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可
【详解】
设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.
因为，所以，解得.
因为，所以.
设，易知平面ABC，则.
因为，所以，
即，解得.所以球Q的半径.
故选：A
本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题
2．D
【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；
对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误
故选：D.
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
3．C
【解析】
设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.
【详解】
设过点作圆 的切线的切点为，
，
所以是中点，，
，
.
故选:C.
本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
4．C
【解析】
根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．
【详解】
根据题意，分两种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；
②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.
语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.
综上所述，共有种不同的排法.
故选：C．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．
5．C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
6．B
【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为，可设所求双曲线的标准方程为k．再把点代入，求得 k的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
7．D
【解析】
由可求，再求公差，再求解即可.
【详解】
解：是等差数列
，又，
公差为，
，
故选：D
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.
8．D
【解析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
9．D
【解析】
根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.
【详解】
由已知可知，点为中点，为中点，
故可得，故可得；
代入椭圆方程可得，解得，不妨取，
故可得点的坐标为，
则，易知点坐标，
将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，
故选：D.
本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.
10．A
【解析】
，故，故选A.
11．C
【解析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
12．B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
∵，
∴，，
∴.
故答案为：.
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
14．
【解析】
利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；
【详解】
解：∵在中，，∴，
∴，
∴，
∴.
∵，即，当且仅当时等号成立，
∴，∴面积的最大值为.
故答案为：
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
15．
【解析】
由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果.
【详解】
设所给半球的半径为，则四棱锥的高，
则，由四棱锥的体积，
半球的体积为：.
【方法点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
16．.
【解析】
求出切线的斜率，即可求出结论.
【详解】
由图可知直线过点，
可求出直线的斜率，
由导数的几何意义可知，.
故答案为:.
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面；
（2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
、均垂直于平面，且，则，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面；
（2）由，平面，平面，平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
在平面内过点作于点，
平面，平面，，
，，平面，
即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，
设，
则到平面的距离，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
18．（1），；（2）.
【解析】
（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为，进而可得出曲线的直角坐标方程；
（2）求出点到直线的最大距离，以及直线截圆所得弦长，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】
（1）由曲线的参数方程得，
.
所以，曲线的普通方程为，
将曲线的极坐标方程变形为，
所以，曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线是圆心为，半径为为圆，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的最大距离为，，
因此，的面积为最大值为.
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．
【详解】
（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．
由题意的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：
所以．
（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，
所以．
又去掉年的数据之后，
所以，
从而回归方程为：．
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.
【详解】
（1）∵平面ABCD，平面ABCD.
∴.
又∵底面ABCD是菱形，∴.
∵，∴平面BDE，
设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，
，，四边形OCFG是平行四边形
，平面BDE
∴平面BDE，
又因平面BEF，
∴平面平面BDE.
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
∵BE与平面ABCD所成的角为，
，
，，，，.
，
设平面BEF的法向量为，，
，
设平面的法向量
设二面角的大小为.
.
本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于，得，
当时，，此时在上递增；
当时，由，解得，
若，则，
若，，
此时在递增，在上递减.
（2）由（1）知在处取得最大值为：
，
设，则，
令，则，
则在单调递减，∴，
即，则在单调递减
∴，
∴，
∴.
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
22．（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：，，，
，