2026年七台河市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年七台河市高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析），共12页。试卷主要包含了已知命题，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过椭圆的左焦点的直线过的上顶点，且与椭圆相交于另一点，点在轴上的射影为，若，是坐标原点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．、
B．、
C．、
D．、
3．已知向量与的夹角为，，，则( )
A．B．0C．0或D．
4．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )
A．B．C．D．6
5．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
9．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
11．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.
A．408B．120C．156D．240
12．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.
14．已知复数z1＝1﹣2i，z2＝a+2i（其中i是虚数单位，a∈R），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．
15．的展开式中的系数为________________．
16．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线：与抛物线切于点，直线：过定点Q，且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B，直线PA，PB的斜率分别为，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：．
（2）若，求二面角的余弦值．
20．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．
（1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
21．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
22．（10分）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
求得点的坐标，由，得出，利用向量的坐标运算得出点的坐标，代入椭圆的方程，可得出关于、、的齐次等式，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】
由题意可得、.
由，得，则，即.
而，所以，所以点.
因为点在椭圆上，则，
整理可得，所以，所以.
即椭圆的离心率为
故选：D.
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出、、的齐次等式，充分利用点在椭圆上这一条件，围绕求点的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.
2．A
【解析】
设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，
得到，进而变形即可求解.
【详解】
由题意，设，则，
又由，所以，即函数在R上单调递增，
则，即，
变形可得.
故选：A.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
3．B
【解析】
由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.
【详解】
由向量与的夹角为，
得，
所以，
又，，，，
所以，解得.
故选：B
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.
【详解】
已知与分别为函数与函数的图象上一点，
可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，
设抛物线的切点为，则由可得，
，所以切点为，
则切点到直线的距离为线段的最小值，
则.
故选：C.
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
5．D
【解析】
由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出的大致范围
【详解】
解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”，
对于函数，由于，
，
设，该函数在为增函数，
， ，
在上有零点，
故函数的“新驻点”为，那么
故选：．
本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..
6．A
【解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】
如图，
取BC中点G，连接AG，DG，则，，
分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，
则O为四面体的球心，
由，得正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故选A．
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
7．A
【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.
【详解】
已知对于命题，由得，所以命题为假命题；
关于命题，函数，
当时，，当即时，取等号，
当时，函数没有最小值，
所以命题为假命题.
所以和是真命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.
故选：A.
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.
8．A
【解析】
根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.
【详解】
由题意得：定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；
为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；
，，不是最值，③错误；
令，
当时，，，，此时与无交点；
当时，，，，此时与无交点；
综上所述：与无交点，④正确.
故选：.
本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.
9．C
【解析】
，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知，，令，得.
故选：C.
本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.
10．A
【解析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，
.
故选：A.
本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
11．A
【解析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），
当“乐”排在第一节有（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），
故选：．
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．
12．C
【解析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.
【详解】
双曲线,
双曲线的渐近线方程为，
故选：C
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.
【详解】
由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则
，故有，
解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为
.
故答案为：.
本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.
14．-1
【解析】
由题意，令即可得解.
【详解】
∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，
∴，
又z1•z2是纯虚数，∴，解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.
15．
【解析】
在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.
【详解】
的展开式的通项为，令，
因此，的展开式中的系数为.
故答案为：.
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.
16．
【解析】
根据渐近线得到，，计算得到离心率.
【详解】
，一条渐近线方程为：，故，，.
故答案为：.
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（1，2）；（2）存在，
【解析】
（1）由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为，求出抛物线的方程，再由直线与抛物线相切，即可求得切点的坐标；
（2）直线与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线PA，PB的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.
【详解】
（1）由题意，直线变为2x+1-m(2y+1)=0，所以定点Q的坐标为
抛物线的焦点坐标，
由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为，
可得，解得或（舍去），
故抛物线C的方程为
又由消去y得，
因为直线与抛物线C相切，所以，解得，
此时，所以点P坐标为（1，2）
（2）设存在满足条件的实数，点，
联立，消去x得，
则，
依题意，可得，解得m