内蒙古自治区阿拉善盟2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份内蒙古自治区阿拉善盟2026年高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了已知直线与直线则“”是“”的，设曲线在点处的切线方程为，则，定义在上的函数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
6．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．
A．B．C．D．
7．已知直线与直线则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．0B．C．D．1
9．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．定义在上的函数满足，则（）
A．-1B．0C．1D．2
11．已知是函数的极大值点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
12．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知(2x-1)7=a+a1x+ a2x2+…+a7x7，则a2=____.
14．已知，若，则a的取值范围是______．
15．函数在区间上的值域为______.
16．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
18．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1） 证明:；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
19．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程中， ，.
20．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．
21．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验n次；
（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，
22．（10分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
2．A
【解析】
构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，
是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.
不等式等价于，
等价于，注意到，
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选：A
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.
3．B
【解析】
，将,代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
4．D
【解析】
利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故.
又，故.
因为当时，函数是单调递减函数，
所以.
因为为偶函数，故，
所以.
故选：D.
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
5．C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
6．A
【解析】
过圆外一点，
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．
7．B
【解析】
利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.
【详解】
若，则，故或，
当时，直线，直线 ，此时两条直线平行；
当时，直线，直线 ，此时两条直线平行.
所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件，
当时，可以推出，故“”是“”的必要条件，
故选：B.
本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.
8．B
【解析】
根据题意可得平面，，则即异面直线与所成的角，连接CG，在中，，易得，所以，所以，故选B．
9．D
【解析】
利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解
【详解】
因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.
故选：D
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题
10．C
【解析】
推导出，由此能求出的值．
【详解】
∵定义在上的函数满足，
∴，故选C．
本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.
11．B
【解析】
方法一：令，则，，
当，时，，单调递减，
∴时，，，且，
∴，即在上单调递增，
时，，，且，
∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；
当时，存在使得，即，
又在上单调递减，∴时，，所以，
这与是函数的极大值点矛盾．
综上，．故选B．
方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．
12．C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.
【详解】
解：(2x-1)7的展开式通式为：
当时，，
则.
故答案为：
本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.
14．
【解析】
函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
，等价为，
且时，递增，时，递增，
且，在处函数连续，
可得在R上递增，
即为，可得，解得，
即a的取值范围是．
故答案为：．
本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15．
【解析】
由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．
【详解】
，
，则，
.
故答案为：．
本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．
16．
【解析】
设正四棱柱的底面边长，高，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.
【详解】
解：设正四棱柱的底面边长，高，
则，
即
故答案为：
本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）
（2）是为定值，的横坐标为定值
【解析】
（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.
【详解】
（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为
（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．
由消去并整理得，∴，．
直线的方程为：，直线的方程为：．
联系方程，解得，又因为．
所以．所以的横坐标为定值．
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.
18． (1)见解析.
(1) .
【解析】
试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析： （1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜2，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，
则a的取值范围是．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．
【详解】
（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．
由题意的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：
所以．
（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，
所以．
又去掉年的数据之后，
所以，
从而回归方程为：．
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
20．（1）（2）
【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设，，则，
设，由得．
又由于，
化简得的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，
与的方程联立，消去得，
，设，，
则，，
由已知，，则
，
故直线．
，
令，则
，
由于，，
．
所以，的取值范围为．
此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
21．（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,则可求得,,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；
（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则,
∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,
,,
,
若,则,则,
,,
∴p关于k的函数关系式为（,且）
（ii）由题意知,得,
,,,
设（）,
则,令,则,
∴当时,,即在上单调增减,
又,,
,
又,,
,
∴k的最大值为4
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，即可：
（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.
【详解】
（1）∵底面为菱形，
∵直棱柱平面.
∵平面.
.
平面；
（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点，
设平面的法向量为，
，
有，令，
得
又，
设直线与平面所成的角为，
所以
故直线与平面所成的角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：，，，
，