2026届新疆维吾尔自治区阿勒泰地区高三下学期联合考试数学试题（含答案解析）

这是一份2026届新疆维吾尔自治区阿勒泰地区高三下学期联合考试数学试题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了已知集合，集合，那么等于，已知是边长为的正三角形，若，则，已知，则的取值范围是，设复数满足，已知为虚数单位，若复数满足，则，设等差数列的前项和为，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
4．已知集合，集合，那么等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知是边长为的正三角形，若，则
A．B．
C．D．
6．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（ ）
A．B．
C．6D．
7．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
8．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
11．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．在的展开式中，的系数为( )
A．-120B．120C．-15D．15
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
14．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.
15．已知在等差数列中，，，前n项和为，则________.
16．运行下面的算法伪代码，输出的结果为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角平面角的余弦值.
18．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.
注:若，则，，.
19．（12分）已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.
21．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．
求数列，的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
22．（10分）设函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．
【详解】
由，得，则，
，，所以．
故选：B．
本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．
2．D
【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.
【详解】
由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,
所以所求概率,
故选:D
本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.
3．B
【解析】
判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.
【详解】
由，，所以可得.
，
所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：
由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.
故选：B
本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.
4．A
【解析】
求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
5．A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
6．D
【解析】
先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.
【详解】
由题意，则，，得，由定义知，
故选:D.
此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.
7．D
【解析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
8．A
【解析】
由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】
由得：，
对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：.
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
9．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
10．B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
11．A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
12．C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．60
【解析】
分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法.
详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.
14．
【解析】
利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.
【详解】
由，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：
本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.
15．39
【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.
【详解】
设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.
故答案为：39
本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.
16．
【解析】
模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出的值,用裂项相消法求和即可.
【详解】
模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：
.
故答案为:
本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.
【详解】
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.
由平面平面，且交于，平面，有平面，
由平面平面，且交于，平面，有平面
，所以∥，又平面，平面，所以∥平面
，由，有，∥，又平面，平面
，所以∥平面，
由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取，
点，点，点，，，
设面的法向量，所以
，取，
二面角的平面角为，则为锐角.
所以
本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；
（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；
（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；
【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.
因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.
所以
.
（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
由（Ⅰ）可知，得.
（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.
由题有，所以.
因此的分布列为
.
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
19． (1) (2)
【解析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
【详解】
解：（1）由是递增等比数列，，
联立 ，解得或，
因为数列是递增数列，所以只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式：；
（2）由，
∴；∴；
那么，①
则，②
将②﹣①得：
．
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
20．（1）见解析 （2）
【解析】
（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.
【详解】
（1）
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
若.在R上单调递增
若，当时，；
当时.，
所以在上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意
当时，在上单调递减，在上单调递增.
则，即
又因为单调递增，且，故
综上，
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．，；.
【解析】
由，公差，有，，成等比数列，所以，解得.进而求出数列，的通项公式；
当时，由，所以，当时，由，，可得，进而求出前项和．
【详解】
解：由题意知，，公差，有1，，成等比数列，
所以，解得．
所以数列的通项公式．
数列的公比，其通项公式．
当时，由，所以．
当时，由，，
两式相减得，
所以．
故
所以的前项和
，．
又时，，也符合上式，故.
本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．
22．（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.
【解析】
（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；
（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.
【详解】
（1），
当时，恒成立，
当时，，
综上，当时，递增区间时，无递减区间，
当时，递增区间时，递减区间时；
（2），
令，原方程只有一个解，只需只有一个解，
即求只有一个零点时，的取值范围，
由（1）得当时，在单调递增，
且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，
当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，
当时，，此时函数只有一个零点，
原方程只有一个解，
当且
递增区间时，递减区间时；
，当，
有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意，
所以的取值范围是或.
本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.