2025-2026学年山西省吕梁市高考数学五模试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年山西省吕梁市高考数学五模试卷（含答案解析），共31页。试卷主要包含了若集合，，则下列结论正确的是，设椭圆，波罗尼斯，已知向量，等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若满足约束条件则的最大值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
2．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）
A．B．
C．D．
5．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ）
A．B．C．D．
8．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A．，-2B．，-9C．-2，-9D．2，-2
12．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆Г：，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.
14．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．
15．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
16．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（12分）已知抛物线，焦点为，直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，如图所示，当直线经过焦点时，点恰好是的中点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）点是原点，设直线的斜率分别是，当直线的纵截距为1时，有数列满足，设数列的前n项和为，已知存在正整数使得，求m的值.
20．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.
21．（12分）已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
22．（10分）已知.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若的最小值为1，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
【详解】
解:由约束条件作出可行域如图,
化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知
当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.
故选:D.
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
2．B
【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.
【详解】
如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，
过分别做，的平行线，，
由题知，
则外接圆半径，
因为，所以，
又因为，所以，，
由题可知，
所以，，
所以.
故选：D.
本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.
3．B
【解析】
求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．
【详解】
解：令，则，
则，
故，如图示：
由，
得，
函数恒过，，
由，，
可得，，，
若方程有唯一解，
则或，即或；
当即图象相切时，
根据，，
解得舍去），
则的范围是，
故选：．
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
4．D
【解析】
设，则，小正六边形的边长为，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论.
【详解】
由题意，设，则，即小正六边形的边长为，
所以，，，在中，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，大正六边形的边长为，
所以，小正六边形的面积为，
大正六边形的面积为，
所以，此点取自小正六边形的概率.
故选：D.
本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5．D
【解析】
由题意，分析即得解
【详解】
由题意，故，
故选：D
本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
6．D
【解析】
由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.
【详解】
因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，
，且时，单调递增，所以
在上单调递增，因为，
故有，解得.
故选：D.
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
7．C
【解析】
连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率.
【详解】
如图，连接，
椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，
B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限，
直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点
为的中位线，
，且，
，
解得椭圆的离心率.
故选：C
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．D
【解析】
求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.
【详解】
设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
9．A
【解析】
令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，
令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，
故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A．
10．A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
11．B
【解析】
由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，，
作出函数的图象如下所示；
由函数图像可知，当时，有最大值，
当时，有最小值.
故选：B.
本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
12．D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率
【详解】
如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2a−t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设∠BAO=θ，则∠BAF1=2θ，所以Г的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，，所以，即e= =，
故答案为：.
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
14．
【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数的图像向右平移个单位得，
，
，
.
故答案为：.
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
15．
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．
【解析】
由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.
【详解】
因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，
故，解得，因为，所以.
故答案为
本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•lg2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．
【详解】
(1)设数列的公比为，
由题意知：，
∴，即.
∴，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得
∴.
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．
18．（1）．（2）．
【解析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P．
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（1）（2）
【解析】
(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；
(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得，可得之间的关系，再运用进行裂项，可求得，解不等式求得的值.
【详解】
解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为，
与抛物线方程联立得：，
设，
所以，
，
，
所以抛物线方程为
（2）设直线方程为，
，
，
，
，
，
由得.
本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.
（Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）设,,则,
又,,故,即,
故,又,故.
故椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为,,
由 ,故,
又,故,因为处的切线相互垂直故.
故直线的方程为.
联立
故.
故,代入韦达定理有
设,则.当且仅当时取等号.
故的面积的最大值为.
本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.
21．（1）或（2）．
【解析】
(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;
(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.
【详解】
解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意
当斜率存在时，设直线的方程为,即
∴,解得
∴直线的方程为
∴直线的方程为或
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为
圆心到直线的距离为
∴弦长为
本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）当时，令，作出的图像，结合图像即可求解；
（Ⅱ）结合绝对值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼凑为，结合基本不等式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）
令，作出它们的大致图像如下：
由或（舍），得点横坐标为2，由对称性知，
点横坐标为﹣2，
因此不等式的解集为.
（Ⅱ）.
.
取等号的条件为，即，联立得
因此的最小值为.
本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4