浙江省绍兴市2026年初中毕业生学业水平调测 数学（含解析）中考模拟

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1．本试题卷共8页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，
∴四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
2. 下列平面图形绕虚线所在直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】绕虚线所在直线旋转一周，可以得到
3. 某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛．比赛中，九位评委给某个选手打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是（ ）
A. 方差B. 平均数C. 众数D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义即可求解，熟记：“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”是解题的关键．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分，中位数依然是最中间那个数或中间两个数的平均数，
则中位数一定不发生变化，
故选D．
4. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式两边同除以一个数时，该数不能为0，结合等式性质逐一判断即可．
【详解】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足，
∴ 由无法推出，A是假命题；
对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题；
对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题；
对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题．
5. 如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一．
直接根据等腰三角形三线合一作答即可．
【详解】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故选：C．
6. 如图，已知斜面与水平面的夹角，一个木块静止在斜面上，其所受重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上．若表示G与F两个方向之间的夹角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得：，根据直角三角形的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7. 一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式．
【详解】解：A与B关于坐标原点对称，
，
解得，
，
设这个反比例函数的表达式为，
把代入可得，
，
解得，
所以这个反比例函数的表达式为．
8. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键．
重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：设旋转角度为，由题意得，
，
解得．
故选D．
9. 如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
10. 在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，则，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在抛物线上时即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 因式分解：____．
【答案】##
【解析】
【详解】
13. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图，如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种，
两张卡片上的数字和大于6的概率是．
14. 如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入得到，进一步即可得到答案
【详解】解：∵点，，，处的读数分别为，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形直尺的宽为，
∴，
∴，
解得：，
∴．
15. 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为____．（结果保留两位小数）
【答案】9.85
【解析】
【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将 改写为 的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
16. 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段与线段AB关于直线l对称，则点B到直线的距离最大值为___．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的长度，由于对称可得，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，则只有当三点共线时有到的距离最大值．
【详解】解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】7
【解析】
【详解】解：原式
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
所以，不等式组的解集为．
19. 对于题目“如图1，已知相交于，证明：．”
小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程．
【答案】②，证明见解析
【解析】
【分析】利用“边边边”证明即可．
【详解】解：错误步骤的序号为②．
正确证明如下：
由正确步骤①知，
所以，
因为，．
所以，
在和中，
因为，
所以．
20. 某校将每年4月的第三周定为阅读活动周．为了解学生在阅读活动周的阅读时长（单位：h），该校随机调查了a名学生，根据统计结果绘制了如下统计图．

（1）求a和m的值．
（2）求这a名学生在该周的平均阅读时长．
（3）若该校共有1600名学生，估计在该周阅读时长为的人数．
【答案】（1），
（2）
（3）120人
【解析】
【分析】（1）用阅读时长为的人数除以其所占的百分比，可求出a的值，再用阅读时长为的人数除以a的值，即可；
（2）根据平均数公式解答即可；
（3）用1600乘以阅读时长为的人数所占的百分比，即可．
【小问1详解】
解：，
，即；
【小问2详解】
解： 这a名学生在该周的平均阅读时长为；
【小问3详解】
解：估计该校学生在该周阅读时长为的有人．
21. 已知实数$a，b$满足．
（1）求的值．
（2）阅读如图材料，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 利用完全平方公式变形，将已知条件与代入求；
(2) 类比材料中的推导方法，由展开式移项得到，再代入求值
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
22. 如图，在矩形中，点E在边上，以E为圆心，长为半径画弧交边于点F，连接交线段于点P，恰有，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【答案】（1），理由见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得到，根据等边对等角得到，可知，根据三角形内角和定理求出，即可得到与的位置关系；
（2）根据三角函数得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
设，则，
在中，由得，
解得，（舍去），
∴．
23. 已知抛物线的对称轴是直线．
（1）求b的值．
（2）若点是抛物线上的动点．
①当时，求y的取值范围．
②当时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围．
【答案】（1）2 （2）①；②或
【解析】
【分析】（1）由抛物线对称轴公式直接代入求；
（2）①将解析式化为顶点式，求出顶点坐标，再比较顶点值与两端点值的大小，得的取值范围；②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，利用对称性得，再由解出，，从而求出，再求对应的值，即可确定的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得．
【小问2详解】
解：①由题意知，抛物线的开口向上，
又因为，
所以当时，y取到最小值为，
当时，；
当时，，
所以y的取值范围是．
②如图，由抛物线开口向上可知，当时，x分别取到最大值与最小值，
由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称．
设x的最大值为，最小值为，则有．
又有，可得，．
此时，即，得，
由方程，解得，．
由下图得x的取值范围为或．
24. 如图，四边形内接于圆O，为直径，，交于点G，，垂足为E，交于点F．
（1）如图1，证明：．
（2）如图2，连结，若，求的度数．
（3）如图3，连结，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆中直径对应的圆周角为和证明即可．
（2）根据已知关系证明，得到F是中点，从而是中位线，故，再根据弧长相等则对应的角相等求得 ，最后求出．
（3）连结，过O作，垂足为H，证明，得出相应边的比例关系，三角形的面积关系，用勾股定理表示出相应边和面积，最后求解．
【小问1详解】
证明：为直径，所以，．
又．
．
．
，
．
，
．
【小问2详解】
解：由（1）已知，，，
，
．
，
，即F是中点，
O是的中点，
所以．
，，
，
．
，
，
．
【小问3详解】
解：连结，过O作，垂足为H，所以，
由圆的性质和已知条件得，
由
，
，，
是中点，，
，设，
，
，所以．
，
，，
，
，
，
．
F为BG的中点，
，
，
．因为，
所以，
所以．