福建省泉州市部分中学2023−2024学年高二下学期7月期末联合检测 数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市部分中学2023−2024学年高二下学期7月期末联合检测 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.6D．0.7
2．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．C．0D．
3．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量与响应变量之间的线性相关程度，则（ ）
A．B．C．1D．3
4．随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A．0B．2C．3D．4
5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个互动节目，现将这2个互动节目插入节目单中，要求互动节目既不排在第一位，也不排在最后一位，且不相邻，那么不同的插法种数为（ ）
A．6B．10C．12D．20
6．某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．某人在次射击中，击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件，则（ ）
A．当时，取得最小值
B．若，则的取值范围是
C．若，当取最大值时，则
D．当时，随着的增大而减小
8．已知函数，若，则实数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．
C．二项式系数和为256D．
10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，则（ ）
A．当时，直线不是曲线的切线
B．若有三个不同的零点，则
C．当时，存在等差数列，满足
D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了5天的数据:
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则当时，残差为 .
13．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.

14．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是:对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列.已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列.设，数列的前项积为.若对任意的恒成立，则整数的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据图如下表所示:
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
16．定义:若函数与的图象在区间上有且仅有一个公共点，则称函数与在区间上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数.
(1)当，判断函数在点处的切线与函数是否在上单交，若是，并求出“单交点”的坐标；若不是，说明理由?
(2)若函数与在上存在“单交点”，求的值.
17．ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.
(1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
18．已知，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性;
(3)设，当时，证明:.
19．近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒（这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉），每款数量足够多，购买规则及概率规定如下:每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明:;
(2)设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，
（i）求；
（ii）求.
提示:求的方式:先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
参考公式:
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】因为，，则，且，
所以.
故选A.
2．【答案】D
【分析】根据导数的求导法则求，进而可求.
【详解】因为，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【分析】利用负相关性的定义求解即可.
【详解】由样本数据可知解释变量与响应变量之间具有负相关性，
所以
又因为对应的点均在直线上，
故，故A正确.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差.
【详解】由题意可知，，
所以.
故选B.
5．【答案】C
【分析】利用插空法，原定5个节目之间有4个空位，从中选择2个安排互动节目即可，结合排列数计算即可求解.
【详解】根据题意：原定5个节目之间有4个空位，从中选择2个安排互动节目即可，
所以不同的插法种数为.
故选C.
6．【答案】B
【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解.
【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，，
依题意，，，，则，
由有：，
因为，所以
，
所以.
故选B.
7．【答案】D
【分析】对于A，根据，直接写出即可判断；对于B，求出概率，然后运用导数研究单调性，进而得到取值范围；对于C，求出，因为取最大值，所以，解得范围即可；对于D， ，求出，借助函数分析单调性即可．
【详解】对于A，，当时，取得最大值，故A错误；
对于B，因为，若，则
.
由于，则，
由于，则，则在上单调递增.
则，的取值范围是，故B错误.
对于C，在20次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．故C错误；
对于D，因为
所以，
，
所以，
当时，为正项且单调递减的数列，
所以随着的增大而减小，故D正确；
故选D．
8．【答案】D
【分析】整理可得，换元令，构建，可知对任意恒成立，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，且当趋近于0或时，趋近于，
所以在内的值域为.
因为的定义域为，
若，整理可得，
令，设，则，
可知对任意恒成立，
若，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，符合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
设，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，且，
则不等式的解集为，即；
综上所述：，所以实数的最大值为.
故选D.
9．【答案】BC
【分析】对于A，由二项式定理求解，对于B，令，对于C，直接由二项式系数公式求解，对于D，先两边求导，再令求解．
【详解】对于A项，，故A项错误；
对于B项，令，得，故B项正确；
对于C项，二项式系数和为：；故C项正确；
对于D项，对二项展开式两边求导得，，
令，得，故D项错误；
故选BC.
10．【答案】ACD
【分析】利用‌概率运算的基本公式求解选项即可.
【详解】选项A：
所以故选项A正确.
选项B：所以所以事件和事件相互独立，
所以事件和事件相互独立，则
故选项B错误.
选项C:故选项C正确，
选项D：因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立，
所以故选项D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【分析】对于A，利用导数的几何意义分析判断，对于B，由题意可得，化简后可得答案，对于C，由判断，对于D，由函数关系式可得的图象关于点对称，则正方形的中心为，不妨设正方形的4个顶点分别为，设出的方程，与曲线联立结合弦长公式可求出，同理可得，则可得与的关系，表示出，再构造函数可得答案.
【详解】对于A，当时，，则，
因为，所以曲线在点处的切线方程为，所以A错误，
对于B，因为有三个不同的零点，所以，
所以，
所以，所以B正确，
对于C，当时，，
因为，，
，，，
所以，
因为是公差为1的等差数列，
所以存在等差数列，满足，所以C正确，
对于D，由，得
当时，，所以在上单调递增，
所以曲线上不存在4个点能构成正方形，所以，
因为，
所以的图象关于点对称，所以此正方形的中心为，
不妨设正方形的4个顶点分别为，其中一条对角线的方程为，则，解得，
所以，同理可得，
由，得，
化简得，
根据题意可知方程只有一个正解，
因为上式不成立，
所以，
因为，所以，得，
设，则，
令，由题意可知，只需要直线与函数的图象只有唯一的公共点即可，
结合对勾函数图象可知，，得，所以D正确，

故选BCD.
12．【答案】
【分析】计算出，将代入回归方程，得到，求出回归方程，当时，，计算出残差.
【详解】，，
将代入中得，，
解得，
故，当时，，
故残差为.
故答案为：
13．【答案】34
【分析】由题意可知第行第个数为，连续三项，，，结合组合数运算求解即可.
【详解】由题意可知第行（）第个数（）为，
根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，
有且．化简得，，
联立解得，．
故第34行会出现满足条件的三个相邻的数．
故答案为：34.
14．【答案】2
【分析】利用导数求出曲线在点处的切线方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，进而可求得整数的最小值.
【详解】由，则，，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知点在直线上，所以，，
因为，则，
因为，
所以，
因为函数的零点近似值为r，且函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，
由题意可知，，故整数的最小值为2.
故答案为：2.
15．【答案】(1)证明见详解；
(2)，预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5.
【分析】(1)求出，结合公式求出r，即可下结论；
(2)利用最小二乘法求出回归直线方程，令计算，即可求解.
【详解】(1)由，，，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
(2)由题意可得：，
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5.
16．【答案】(1)函数在点处的切线与函数在上单交，单交点为；
(2)3.
【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程，与联立，得到只有一个根，故在点处的切线与函数在上单交，并求出单交点坐标；
(2)转化为，故，，构造，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案.
【详解】(1) ，，，
故在点处的切线方程为，
时，，
联立与得，
，解得，
故函数在点处的切线与函数在上单交，
当时，，故单交点坐标为；
(2)令，定义域为，
令，即，
故，，
令，则，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，且，
故在处取得极小值，也是最小值，且，
若函数与在上存在“单交点”，故.
17．【答案】(1)年龄因素与喜欢该程序有关系；
(2)，；
(3)分布列见详解，.
【分析】(1)先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论；
(2)依题意可得，即可求得和；
(3)依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．
【详解】(1)根据题意可得列联表如下；
零假设：年龄因素与是否喜欢该程序无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
(2)由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率，
可知，
所以，；
(3)易知10名高中生有7名男生，3名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，，
，
故所求分布列为
可得.
18．【答案】(1)的极小值为，无极大值；
(2)答案见详解；
(3)证明见详解.
【分析】(1)求导，利用导数判断的单调性和极值；
(2)求导可得，讨论的符号，结合判别式分析求解；
(3)利用作差法，整理可得，令，构建，利用导数可得，进而分析证明.
【详解】(1)由题意可知：的定义域为，
若，则，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
(2)因为，
可知的定义域为，且，
若，则，可知在内单调递增；
若，则，可知有2个实根，，
且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
综上所述：若，在内单调递增；
若，在内单调递减，在内单调递增.
(3)当时，则，
可得
对任意的，则，则，
令，则，
设，则，
可知在内单调递增，则，即，
可得，
即，所以.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）；.
【分析】(1)合理分析题意，利用分步乘法计数原理结合条件概率公式求解即可.
(2)（i）由题意直接求解即可.
（ii）合理利用给定定义，构造等比数列求解，再求解即可.
【详解】(1)设首次买到草莓熊的概率为，，
由题意得，
由条件概率公式得，
所以成立，故此等式得证.
(2)（i）由题意得，
（ii）由题意得期待在次试验后，首次出现连续次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为，
若下一次试验失败，相当于重新试验，期望仍然是，
此时总的试验次数为，即,
整理得，即，
所以，故是以为公比的等比数列，
所以，而，所以，故.
1
2
5
6
8
9
12
（人）
17
20
25
28
35
第天
1
2
3
4
5
高度
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
23
30
中老年
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P