浙江省温州市2025-2026学年大罗山联盟高一下学期期中联考数学试题（含答案）

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选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15（13 分）（1） 3 分
故函数f(x)的最小正周期T 4 分
由2kπ+ ≤ 2x - ≤ 2k π+ 得kπ + ≤ x ≤ k π + ∈ Z) .
∴函数f(x) 的单调递增区间为 k ∈ Z . 7 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
C
C
A
B
题号
9
10
11
答案
BD
ACD
ABD
题号
12
13
14
答案
2
31
43 - 6
（2） ∵ x ∈ ΓlL0, ， 9 分
∴ sin = 2 sin 13 分
16.（15 分）（1）因为 = 3 ，所以 .
3 分因为 E 是 AD 的中点，
所以 6 分
（2） 由（1）知， ，
2 = (_ + )2 = 2 _ 2× × . + 2 = × 22 + × 12 = ，所以 8 分
2 = ( + )2 = 2 + 2× × . + 2 = × 22 + × 12 = ，所以 10 分 12 分
cs 15 分
17.（15 分）（1）证明：因为平面 A1ADD1 丄 平面 ABCD ，平面 A1ADD1 平面 ABCD = AD ，A1A 丄 AD AA1 丄 平面 ABCD 3 分
又因为CD C平面 ABCD ，所以 AA1 丄 CD ， 6 分
（2）连接 A1C ，因为LBAD = 120 ，所以LABC = 60 , AB = AC = BC = 2 , LCAD = 60，
LCAD = 60 , CD = 23 , LACD = 90 ，所以AC 丄 CD 8 分
AA1 丄 CD, AC 丄 CD, AC AA1 = A ，得CD 丄 面A1ACC1 10 分所以LDA1C 就是直线 A1D 与平面 A1ACC1 所成角12 分
又因为 A1C=22，CD = 23，A1D = 2 ， sin LD 15 分
18（17 分）（1）法 1 ：由题意，得 2 分即 则 (a2 _b2)(a2 + b2 _ c2) = 0 4 分
所以 a = b 或 a2 + b2 = c2
因此△ABC 为等腰三角形或直角三角形6 分 法 2 ：由题意得 则 2 分
:sin(A _ B)[sin 2 A + sin 2 B _ sin 2 (A + B)] = 0
:sin(A _ B)(a2 + b2 _ c2) = 0 4 分
所以 A = B 或 a2 + b2 = c2
因此△ABC 为等腰三角形或直角三角形6 分
法 3 ： 由题意，得 则 2 分
因此 2a2 sin B cs A = 2b2 sin AcsB所以 2 sin A cs A = 2 sin B csB
即 sin 2A = sin 2B 4 分
因此在△ABC 中， 2A = 2B 或 2A + 2B = π所以 A = B 或 A + B
因此△ABC 为等腰三角形或直角三角形6 分
（2）（i） 由（1）知， △ABC 为等腰三角形或直角三角形又△ABC 为钝角三角形
所以△ABC 为等腰三角形，则 A = B因此 AC = BC
因为 AD 丄 AB
所以 AC = BC = CD 7 分
设 AC = t ，则 AD = 2t2-1 ， DE = λt ， CE = (1- λ)t
LCAD = 2LEAD ， E 在线段 CD 上 : LCAE = LEAD由角平分线定理，得
则
因为 所以 10 分解得 t 11 分
因此 AD 12 分
(ii)由（i）得 则 - = 2 ·1- 13 分
(t + t > 2
因为△ABC 为钝角三角形 所以〈 2 2 2
lt + t < 2因此 t 15 分
所以 又 0 < λ < 1故 λ ∈ (0, 2 - 2 ) 17 分
法 2 ：（i） 由（1）知， △ABC 为等腰三角形或直角三角形又△ABC 为钝角三角形
所以△ABC 为等腰三角形，则 A = B
因此 AC = BC因为 AD 丄 AB
所以 AC = BC = CD 7 分
LCAD = 2LEAD ， E 在线段 CD 上 ：LCAE = LEAD设 LCAE = α , 则 LAEC = 3α
由正弦定理，得
DE = λCD：CE = (1_ λ)CD = (1_ λ)AC所以 9 分
sin 3α = sin(α + 2α) = sin α cs 2α + cs α sin 2α
：sin 3α = sin α(1_ 2 sin 2 α) + 2 sin α cs 2 α
：sin 3α = sin α(1_ 2 sin 2 α) + 2 sin α(1_ sin 2 α) = 3sin α _ 4sin 3 α
故 10 分 sin 11 分
由 AC = CD ，得 LADC = LCAD = 2α
：cs 2α = 1_ 2sin 2 α = , sin 2α = 2 sin α cs α = 所以 tan 2α = 4 5
在 Rt△ABD 中， tan 因此 AD 12 分
13 分
又△ABC 为钝角三角形 所以 LACB 为钝角 ：LACB = 4α ∈( π , π) 14 分2
π π 2因此 2α ∈( , ) 所以cs 2α ∈(0, )
4 2 2
故 16 分所以 17 分
（1）19（17 分）证明：翻折前：过B, E 分别作 AC, AD 的垂线，垂足分别为F, G ，分别延长 BF , EG交 CD 分别于点 H, M
翻折后：如图所示，则二面角B’_ AC _ D 的平面角和二面角E’_ AD _ C 的平面角分别为 LB’FH 和LE’GM
因为 ，则 B’F 丄 平面 ACD ， E’G 丄 平面 ACD因此 B’F // E’G 2 分
因为△ACD 是边长为3 的正三角形， AB = AE BC = DE = 1所以 △ABC, △AED 都是直角三角形
由面积相等，得 BF EG所以 B’F // E’G 且 B’F = E’G
所以四边形 B’FGE’为平行四边形所以 B’E’// FG 5 分
又 FG C平面 ACD ， B’E’丈 平面 ACD因此 B’E’// 平面 ACD 6 分
（2）（i）取 AC 的中点 O1 ，连接 DO1 ， O2 为 ΔACD 的外心
过 O1 作 O1Q 丄 AC 交 AB’于点 Q
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因为 ΔACD 为正三角形
所以DODO1 ， DO1 丄 AC
故二面角B, _ AC _ D 的平面角为 LQO1D 8 分
设 O 为该五面体的外接球球心， 由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥B, _ ACD 的外接球则 OO1 丄 面 AB,C ，
则 O 到平面 AB,C 的距离为 OO1 9 分
LOO1O2 = 30
所以 OO
因此 O 到平面 AB,C 的距离为11 分
（ii）二面角B, _ AC _ D 的平面角为 LQO1D = θ OO1 丄 面 AB,C ， OO1 丄 面 AB,C ，
LOO1O tan 13 分因此 O2 O = O2 O1 tantan
所以 R2 = OA2 = 则 R
故 R2 sin sin 15 分
: θ ∈ [ π , π) ：sin θ > 0
2
所以 R2 sin sin sin 16 分当且仅当sin 即 sin 时取等号
因此 R2 sinθ 的最小值为 17 分