2026届安徽马鞍山中加双语学校高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届安徽马鞍山中加双语学校高考冲刺数学模拟试题含解析，共10页。试卷主要包含了已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知集合,，则
A．B．
C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则( )
A．B．C．D．
5．由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S9>S8”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．C．D．3
8．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
10．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A．B．1C．2D．0
11．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是
A．在内总存在与平面平行的线段
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．可能为直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则的最小值是______.
14．若，则的展开式中含的项的系数为_______.
15．设，满足约束条件，则的最大值为______.
16．已知，(，)，则＝_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角的对边分别为，若
（1）求角的大小
（2）若，求的周长
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．
19．（12分）已知函数
（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.
21．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.
【详解】
根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，代入得：.
由根与系数的关系得，，
所以.
又直线CD的方程为，同理，
所以，
所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得.
所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.
2、D
【解析】
因为,,所以,,故选D．
3、D
【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.
故选:D.
【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
4、B
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.
【详解】
由于，
，
故.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
5、C
【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
解：若{an}是等比数列，则，
若，则，即成立，
若成立，则，即，
故“”是“”的充要条件，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.
6、A
【解析】
由的最小正周期是，得，
即
，
因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．
考点：函数的图象与性质．
【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
7、D
【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．
【详解】
解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，
说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．
故选：．
【点睛】
本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
8、B
【解析】
可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解
【详解】
设，则.
由题意有，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题
9、B
【解析】
根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为，所以
所以，
又也在直线上，
所以，
解得
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
【点睛】
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
11、C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，
故选：C
【点睛】
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
12、D
【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；
B项利用线面垂直的判定定理；
C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.
【详解】
A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；
B项，如图：
当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；
C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；
D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.
故选D
【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】
根据，利用基本不等式可求得函数最值.
【详解】
，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值.
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.
14、
【解析】
首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.
【详解】
，
根据二项式展开式通项：，
令，解得，
所以含的项的系数.
故答案为：
【点睛】
本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.
15、29
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】
由约束条件作出可行域如图：
联立，解得，
目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，
由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，
最大值为.
所以本题答案为29.
【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
16、
【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得，平方可得.
【详解】
∵，∴，
则，平方可得．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）11
【解析】
（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.
（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.
【详解】
由题

解得，所以
由余弦定理，，
再由
解得：
所以
故的周长为
【点睛】
本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．
射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出， 再用 得解
【详解】
解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：
曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．
设射线与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得．
与曲线交于不同于极点的点，
所以，解得，
所以
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.
（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.
【详解】
（1），
①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；
②当时，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数。
（i）当即,所以符合题意，
（ii）当即 时，
因为，
故存在,所以 不符题意
（iii）当 时，
因为，
设，
所以,单调递增，即，
故存在，使得，不符题意；
综上，的取值范围为。
（2）。
①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，
即符合题意；
②当 时，恒成立，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，且当时，。
即在上单调递减，所以，不符题意。
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；
（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.
【详解】
（1）设点，
∵点到直线的距离等于，
∴，化简得，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，
设点，过点的拋物线的切线方程为，
联立，化简可得，
∴，即，
∴，.
由，求得导函数，
∴，，，
∴，
因为点满足，
由圆的性质可得，
∴，即直线斜率的取值范围为.
【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；
（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.
【详解】
（1）在等腰梯形中,
点E在线段上,且,
点E为上靠近C点的四等分点,
,,,
,
点P在底面上的射影为的中点G,连接,
平面,
平面,.
又,平面,平面,
平面.
（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
由（1）易知,,,
又,,
,为等边三角形,,
则,,,,,
,,,,
设平面的法向量为,
则，即,
令,则,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,,
设平面与平面的夹角为θ,则
二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.
22、（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】
（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.
故时，的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.