安徽省马鞍山市中加双语学校2025_2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份安徽省马鞍山市中加双语学校2025_2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由集合的交集运算求解．
【详解】，
则，
故选：D
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定形式解决问题即可.
【详解】由全称量词命题的否定形式可知：
命题“，”的否定为“，”.
故选：C.
3. 已知是常数，幂函数在上单调递增，则（ ）
A. 9B. 3C. D.
【正确答案】A
【分析】根据幂函数的定义、单调性求得，进而求得.
【详解】由于是幂函数，所以，解得，
当时，，在上单调递减，不符合题意.
当时，，在上单调递增，符合题意，
则.
故选：A
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由可得，考虑由能否推出，由能否推出，由此判断结论．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
充分性：若 ，因为 ，所以必有 ，即 ，故充分性成立，
必要性：若 ，即 ，因为 ，所以必有 ，故必要性成立，
综上，“”是“”的充要条件。
故选：A．
5. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 10B. 12C. 18D. 24
【正确答案】D
【分析】结合指数幂的运算性质化简得 ，再结合基本不等式“1” 的妙用即可求解.
【详解】由题意，，∴，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
6. 设，若关于不等式的解集恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先求解一元二次不等式的解集，再利用题意即可得参数范围.
【详解】不等式，因式分解得：，
因为，所以不等式的解集为，
又因为解集恰有3个整数，所以，
解得，
故选：B.
7. 已知函数在定义域上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据分段函数单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】因为函数在定义域上为减函数，
所以，解得，
故选：C
8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用函数的单调性求解不等式.
【详解】因为，且，
令，得；
又因为，
所以即
因为在为增函数.
所以解得或.
即不等式的解集为，
故选：A.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 与是同一个函数
B. 函数在定义域内是减函数
C. 函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
【正确答案】CD
【分析】利用函数三要素可判定A，利用幂函数的性质可判定B，根据抽象函数的定义域求法可判定C，根据一元二次方程根的分布及充要条件的定义可判定D.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，
在定义域内不单调，故B错误；
对于C，在函数中，，则，
因此函数的定义域为，故C正确；
对于D，若方程有两个正实数根，则，解得，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】选项A，据基本不等式可得；选项B，进而根据基本不等式可得；选项C，将代入，得，进而可得；选项D，利用基本不等式，进而根据指数的运算可得
【详解】，当且仅当时取等号，故A确；
，
当且仅当时取等号，故B错误；
，
当，时取等号，故C正确；
，
当且仅当时取等号，故D正确，
故选：ACD
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 在上是增函数D. 的值域是
【正确答案】BCD
【分析】利用偶函数的定义举例判断A；利用奇函数的定义推理判断B；利用指数型复合函数单调性判断C；求出的值域，进而求出的值域判断D.
【详解】依题意，函数的定义域为，
A，，，，函数不是偶函数，A错；
B，，则函数是奇函数，B对；
C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对；
D，由，得，则，的值域为，D对.
故选：BCD
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，将答案填在题中的横线上）
12. 计算：______．
【正确答案】##
【分析】直接利用指数的运算性质求解即可.
【详解】
故答案为.
13. 若“”是假命题，则的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围．
【详解】“”是假命题，
则有，
当时，恒成立，满足题意；
当时，有，解得，
综上可得的取值范围为．
故．
14. 已知“函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______.
【正确答案】
【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知，是奇函数，
即是奇函数；
，
由，解得.
故答案为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集为实数集，集合，.

（1）若，求图中阴影部分的集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.
（2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
解：时，，由图知，，
因为，所以，
所以
【小问2详解】
当时，，解得，此时成立；
当时，，解得，
因为，所以，解得，
所以；
综上可得，实数的取值范围是.
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）求关于的不等式（其中）的解集.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）方程的两根为1和，且，及求解；
（2）原不等式可以化为，对a分类讨论求解．
【小问1详解】
关于不等式的解集为
方程的两根为1和，且
由韦达定理得：，解得.
【小问2详解】
原不等式可以化为.
方程的两根为，
①当，即时，不等式即为，解集为，
②当，即时，不等式的解集为，
③当，即时，不等式的解集为
综上所述，当时，不等式解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
17. 已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）作出的函数图象；
（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）图象见解析 （3）
【分析】（1）利用奇函数定义求解即可；
（2）利用二次函数的图象，作出函数的函数图象；
（3）由单调性，结合函数图象，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为为上的奇函数，所以.
当时，则，，
所以，
所以当时，，
所以
【小问2详解】
如下图所示：
【小问3详解】
由（2）知，的单调递减区间为，，
因为在上单调递减，所以.
所以，解得，故实数的取值范围是
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若对任意，不等式恒成立，求k的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）减函数，证明见解析；
（3）.
【分析】（1）根据求得值，再验证即可；（2）根据单调性的定义证明即可，关键是对的变形；（3）结合奇偶性与单调性，将不等式恒成立问题合理转化，分离参数，构造函数，求函数的最小值即可.
【小问1详解】
∵为定义域内的奇函数，
∴，即，解得，
∴，
∵，为奇函数，符合题意，
∴.
【小问2详解】
由（1）知：，是上的减函数.下面进行证明：
任取，且，
则
，
∵为增函数，，
∴，，，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
【小问3详解】
∵为奇函数，
对任意，不等式恒成立可化为：
，即对任意恒成立.
又是上的减函数，
∴对任意恒成立，可化为：
对任意恒成立，
即对任意恒成立.
记，，只需，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
∴，
∴，即k的取值范围是.
19. 已知函数对于任意的都有.
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）用替换得，的方程组，解得即可；
（2）首先得到的单调性，依题意，即可求出的取值范围；
（3）依题意可得在上的值域是在上的值域的子集，求出，的值域列式求解.
【小问1详解】
已知，用替换得，
联立两方程，得，
解得.
【小问2详解】
由（1）得，若存在，使得成立，
则，即.
解得，所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
若对任意的，总存在，使得成立，
则在上的值域是在上的值域的子集.
由（1）可得，当时，；
为二次函数，图象开口向上，对称轴为，
则在上单调递增；
所以在上的最小值为，最大值为；
可得，即，解得，所以实数的取值范围为.