福建省宁德市2025-2026学年高二下学期4月适应性练习数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省宁德市2025-2026学年高二下学期4月适应性练习数学试卷含答案（word版），共33页。
1．本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考.如果考生的解法与给出的解法不同, 可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则.
2.对解答题, 当考生的解答在某一步出现错误, 但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误, 则错误部分依细则扣分, 并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9.ACD 10.BC 11.ABD
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 2,3,−1 13.4x+y−4=0 (或 y=−4x+4 ) 14.22
第 8 题解析:
法 1: 函数 fx 的定义域为 −∞,1
f′x=1x−1+2x+sinx
当 x=0 时, f′x=−1+0+00,gx 单调递增
x∈2,+∞,g′x0
又 g0=0
则 x∈−∞,0,f′x=gxg0=0
所以 fx 在 −∞,2 上有一个极值点
又由(2)得 gx 在 2,+∞ 上单调递减
g2=1+1e2>0
x→+∞,f′x=gx>0
所以 fx 在 2,+∞ 上无极值点
综上所述， fx 的极值点个数是 1 个
17. 解: (1) 设该正四棱锥的高为 h ,底面正方形的边长为 a ,
由题意可知 9=h−32+12a2l2=h2+12a2
联立以上方程组可得 h=l26,a2=l2−h2
又该正四棱锥体积 V=13a2h=23l2−l262l26=l436−l2324,3≤l≤33
(2)令 x=l2 ，则 V=x236−x324,9≤x≤27
构造 fx=x236−x,9≤x≤27
f′x=3x24−x
令 f′x=0 得 x=24 或 x=0 (舍去)
所以 fxmax=f24
Vlmax=fxmax324=f24182=242×12182=643
此时由 l2=24 得 l=26
所以当侧棱长为 l=26 时,零件的体积最大,此时体积为 643
18.(1)证明: ∵SC⊥ 底面 ABC,DE⊂ 面 ABC∴SC⊥DE
又 D 为棱 AB 上的点， CD=ED ，取 CE 的中点 M∴DM⊥CB ，又 AC⊥BC∴DM//AC
又 ∵CM=ME,CE=2EB=4∴BM=23BC∴DM=23AC=2
∴CD=DE=22,∴CD2+DE2=CE2,∴CD⊥DE
又 SC∩CD=C
∴DE⊥ 平面 SCD
(2)(i) ∵SC⊥ 底面 ABC,∴SD 与底面 ABC 所成角为 ∠SDC
∴ 在 Rt△SDC 中， tan∠SDC=SCCD=22
又 CD=22∴SC=2
如图,以 CA,CB,CS 为 x 轴, y 轴, z 轴,以 1 为单位长度,建立空间直角坐标系 C−xyz

则 S0,0,2,A3,0,0,D2,2,0,E0,4,0
DE=−2,2,0,AS=−3,0,2,AD=−1,2,0
设面 ASD 的一个法向量 n=x,y,z
由 n⊥ASn⊥AD ,即 n⋅AS=0n⋅AD=0 ,即 −3x+2z=0−x+2y=0
取 x=2 ,可得 n=2,1,3
又由(1)可知 DE 为平面 SCD 的一个法向量
设面 ASD 与面 SCD 所成的二面角为 θ
∴csθ=cs=DE⋅nDE⋅n=−4+222×14=714
∴sinθ=1−cs2θ=32114
又由(1)可知 DE 为平面 SCD 的一个法向量
设面 ASD 与面 SCD 所成的二面角为 θ
∴ 面 ASD 与面 SCD 所成的二面角的正弦值为 32114
(ii) 假设存在点 P ,使得点 P 到面 ASD 的距离为 1414
设 SP=λSE0≤λ≤1 ，由 (i) 可得 SE=0,4,−2
∴SP=λSE=0,4λ,−2λ .
又由 (i) 可知面 ASD 的一个法向量 n=2,1,3
∴ 点 P 到面 ASD 的距离 d=SP⋅nn=4λ−6λ14=1414 .
∴λ=12,∴P 为 SE 的中点.
19. 解: (1) 要使函数 fx=x−aln1+x 有意义,定义域为 −1,+∞
f′x=1−a1+x=1+x−a1+x
令 f′x=0 得 x=a−1
① 当 a≤0 时， a−1≤−1
x∈−1,+∞,f′x≥0,fx 单调递增
②当 a>0 时， a−1>−1
x∈−1,a−1,f′x0,fx 单调递增 5 分
综上所述: a≤0 时, fx 在 −1,+∞ 上单调递增,无减区间;
a>0 时, fx 在 −1,a−1 上单调递减, fx 在 a−1,+∞ 上单调递增.
( 2 )因为 x>0,fx≥0 ，所以 fxmin≥0
① 当 a≤0 时，由①得 fx 在 0,+∞ 单调递增
所以 fx>f0=0 ,符合题意
② 当 0f0=0 ,符合题意
③当 a>1 时， a−1>0 ，由 (1) 得 fx 在 0,a−1 单调递减，在 a−1,+∞ 单调递增
所以 fxmin=fa−1=a−1−alna≥0
构造 ga=a−1−alnaa>1,g′a=−lna ,令 g′a=0 得 a=e
a∈1,e,g′a>0,ga 单调递增; a∈e,+∞,g′a