北京市西城区北京师范大学第二附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市西城区北京师范大学第二附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了已知数列 aₙ满足，记 a=0，已知函数，f的极大值为等内容，欢迎下载使用。

班级 成绩 学号 姓名
考生须知：
1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1.已知等差数列 aₙ中, a₁=3,a₃=6,则 a₅=
A.8 B.9 C.12 D.18
2.已知数列{an}的前n项和 Sₙ=4ⁿ,则 a₃=
A.16 B.32 C.48 D.64
3.下列函数中，图像存在与x轴平行的切线的是
A.y=x³+1 B.y=x C.y=eˣ D. y=lnx
4.函数.y=cs(2x+1)的导函数为
A:y'=sin2x+1 B.y'=-sin2x+1 C.y'=2sin2x+1 D. y'=-2sin(2x+1)
5.已知{an}，{bn}均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是
A.aₙ+bₙ B.aₙ⋅bₙ C.{|an|} D.{b²}}
6.已知数列 aₙ满足： aₙ₊₁=-aₙ+n+1.若 a₁=t,则 a₄=
A.-t+3 B.-t+4 C. t+9 D. t+12
7.已知{an}为无穷等差数列，则“存在i,j∈N⁺且i≠j,使得 aₗ+aⱼ=0”是“存在k≥2且k∈N*,使得 aₖ=0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.记 a=0.1e0.1,b=1e,c=1.1e1.1,则
A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. b>a>c
9.已知函数.f(x)=sinx,i₁ hx=fx-fπ3x-π3, 下列说法中正确的是
A. h(x)在 π3π上单调递增 B. h(x)在 π3π上单调递减
C. h(x)在 π3π2上单调递增，在 π2π上单调递减
D. h(x)在 π3π2上单调递减，在 π2π上单调递增
第1页/共7页10.已知函数 fx=eˣ⋅x²-ax+a,a∈R,下列说沖不正确的是
A.若a=2,则f(x)在R上单调递增 B.若0为f(x)的极大值点,则a>2
C.f(x)的图像经过一个定点 D.若a>e,则方程f(x)-e=0有三个不相等的实数根
二、填空题(本大题共5小题，、每小题5分，共25分)
11.已知等比数列 中, a₃+a₄=4a₁+a₂,则 的公比为 .
12.若函数 ✔在区间[1，4]上的平均变化率k恰等于其在 x=x₀处的瞬时变化率，则 k=; x₀=.
13.设等差数列 的公差为d ，前 项和为Sn，已知( a₁=-4.
(1)若 S₃=-6,则d= ;
(2)若d =1,则Sn的最小值为 .
14.已知函数 fx=xx2+2,则f(x)的极大值为 ；f(x)的单调递减区间为 .
15.设 为无穷数列，记 bn=an-tn-t,其中t为常数且t∉N⁺.给出下列四个结论：
①若 aₙ=2ⁿ,t=0,，则{bn}为单调递增数列；
②若 aₙ=1,t<1,则 bₙ为单调递减数列；
③若 aₙ=2n-1,,则对任意t>1且t∉N⁺,{bn}均存在最大项；
④若 aₙ=2n-1,则对任意t>1且t∉N⁺,{bn}均存在最小项.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，共85分)
16.(本小题满分 14分)
已知函数 fx=x³-3x²-9x+9.
(I)求f(x)在x=1处的切线方程;
(II)求 f(x)的单调区间和极值.
17.(本小题满分 13分)
已知数列 满足： a₁=1,且对任意n∈N*,都有 an+1=anan+12.
(I)直接写出(a₂,a₃,a₄的值；
(II)猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明.
18.(本小题满分 15分)
已知 为等差数列，{bn}为等比数列， a₂=b₃=4,a₆=b₅=16.
(I)求 和{bn}的通项公式；
(II)求 的前 项和；
(III)若对任意n∈N⁺,有an≤λ. b恒成立,求实数λ的最小值.
19.(本小题满分 13 分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、
第2页/共7页贴近山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为 l₁,l₂,山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示.已知M，N为C的两个端点，点 M 到 l₁,l₂的距离分别为20千米和5千米，点 N 到 l₁,l₂的距离分别为4千米和25千米，分别以 l₁,l₂所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系. xOy.假设曲线C符合函数 y=axk(其中a,k为常数)模型.
(I)求a,k的值;
(II)设公路l与曲线C 相切于点 P，点 P 的横坐标为t.
①求公路l所在直线的方程；
②当t为何值时，公路l的长度最短?求如最短长度.
20.(本小题满分 15分)
已知函数 fx=ax-xlnx.
(I)当 a=1时,求f(x)的零点;
(II)讨论f(x)在[1,e]上的最大值;
(III)是否存在实数a，使得对任意x>0，都有 fx≤a?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
21.(本小题满分 15分)
若项数为. NN≥3的数列. AN:a1,a2,⋯,aN满足： a1=1,ai∈N∗i=23⋯N,且存在
M∈23⋯N-1,使得 an+1-an∈12,1≤n≤M-1,-1-2,M≤n≤N-1,则称数列. AN具有性质P.
(I)①若N =3,写出所有具有性质P 的数列A₃;
②若 N=4,a₄=3,写出一个具有性质P的数列A₄；
(II)若 N =2024,数列 A₂₀₂₄具有性质 P,求 A₂₀₂₄的最大项的最小值；
(Ⅲ)已知数列. AN:a1,a2,⋯,aN,BN:b1,b2,⋯,bN均具有性质P，且对任意i， j∈12⋯N,当 时，都有 a₁≠a₁,b₁≠bⱼ记集合 T1=a1a2⋯aN,T2=b1b2⋯bN,求 T₁∩T₂中元素个数的最小值.
第3页/共7页参考答案
一、选择题 (每小题4分，共40分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
三、解答题(共35分)
16.解:(1)f(x)的定义域为]R f'x=3x²-6x-9.
f'(1)=-12, f(1)=-2.
因此，f(x)在x=1处的切线方程为： y-f1=f'1x-1.
化简得y=-12x+10.
1If'x=3x²-6x-9=3x-3x+1,
令f'(x)=0,解得x=-1或3.
当 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞);单调递减区间为(-1,3).f(x)的极大值为. f-1=14,极小值为f(3)=-18.
17.解: Ia2=14,a3=19,a4=116.
(II)猜想: an=1n2.∗
下用数学归纳法证明：
①当n=1时,(*)成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)成立,即: ak=1k2.
则当n=k+1时:
故(*)对 n=k+1 也成立.
由①②, 对任意 n∈N∗,(*)成立,即 an=1n2.
18.解: (I)设 aₙ的公差为d,{bn}的公比为q.
第4页/共7页题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
A
B
C
B
D
题号
1
2
3
4
5
答案
±2,-1
,
2;-10
),(,+∞)
②③④

(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值
\
极小值

由题知： a2=a1+d=4a6=a1+5d=16.
解得： a₁=1,d=3,则an=1+3(n-1)=3n-2,n∈N°.
b3=b1⋅q2=4a5=b1⋅q4=16,
解得： b₁=1,q=±2.
因为{bn}各项均为正数，所以 q=2,bn=2n-1,n∈N∗.
(II)记 的前 项和为Sn.
Sn=n+nn-1⋅32+1-2n1-2=3n2-n2+2n-1
(III)由题意, λ≥anbn=3n-22n-1恒成立.记 cn=3n-22n-1,则 cn+1-cn=3n+12n-3n-22n-1=5-3n2n.
当n=1时, Cₙ₊₁-cₙ>0;当n≥2时, cₙ₊₁-cₙ<0.
因此 cₙₘₐₓ=c₂=2.因此λ的最小值为2.
19.解:(1)由题意 5=a20k,25=a4k军得 a=100k=1
(II)曲线 :y=100x,5≤x≤25.y'=-100x2.
曲线在x=t处的切线方程为 y-100t=-100t2x-t,即 y=-100t2x+200t.
切线与坐标轴的交点为 0200t,2t0.
公路l的长度L满足： L2=40000t2+4t2.
根据均值不等式， L2≥240000t2⋅4t2=800,
当且仅当 t²=100,即t=10时取等.
所以当t=10时，公路l的长度最短，最短长度为 202千米.
20.解:f(x)=ax-xlnx的定义域为(0,+∞).
(I)当a=1时,)f(x)=x-xlnx,零点为x=e.
1If'x=a-1-lnx.
令f'(x)=0,则. x=eᵃ⁻¹.
在区间(0,+∞)内,
第5页/共7页x
(0,eᵃ⁻¹)
eᵃ⁻

f(x)
+
0
-
当 eᵃ⁻¹≤1(即 a≤1)时,在[1,e]上f(x)单调递减, fxₘₐₓ=f1=a.
当 eᵃ⁻¹≥e(即 a≥2)时,在[1,e]上,f(x)单调递增, fxₘₐₓ=fe=ae-e.
当 1 fxₘₐₓ=feᵃ⁻¹=aeᵃ⁻¹-eᵃ⁻¹a-1=eᵃ⁻¹.
综上:(略)
(III)由(II)知在(0,+∞)上, fxₘₐₓ=feᵃ⁻¹=eᵃ⁻¹.
构造函数 ga=feᵃ⁻¹-a=eᵃ⁻¹-a,由题意，应使 ga≤0.g'a=eᵃ⁻¹-1.
令 ga=0,得a=1.
所以 gaₘᵢₙ=g1=0.
所以使g(a)≤0的实数a只有a=1,即a的取值范围是a=1.
21.解:(1)①A₃:1,2,1或1,3,1或1,3,2; ②A₄:1,2,4,3; (或A₄:1,3,4,3,A₄:1,3,5,3)
(II)当N=2024时,M∈{2,3,…,2023}.
由 a1=1,a2-a1≥1,⋯,aM-aM-1≥1,累加得 aM≥M;①
由 a2024≥1,a2023-a2024≥1,⋯,aM-aM+1≥1,累加得 aM≥2025-M.circle2
①+②得 2aM≥2025.
又 aM∈N∗,所以 aM≥1013.
所以数列 A₂₀₂₄的最大项aₙ的最小值为1013，一个满足条件的数列为
an=nn=12⋯10132026-n(n=1014,1015,⋯,2024
IIa1=1,a2-a1≤2,⋯,aM-aM-1≤2,累加得 aM≤2M-1.
又M≤N-1,所以 aM≤2N-3.
同理， bM≤2N-3.
所以 T1∪T2⊆12⋯2N-3,cardT1∪T2≤2N-3.
因为 cardT₁=cardT₂=N,
所以c ardT₁∩T₂=cardT₁+cardT₂-cardT₁∪T₂≥.3.
所以 T₁∩T₂中元素个数的最小值为3.
当N≥4时，一组满足条件的数列为
第6页/共7页f(x)
↗
极大值

a
(-∞,1)
1
(1,+∞)
g(a)
-
0
+
g(a)
\
极小值

此时 T₁∩T₂=1,2N-4,2N-5.
当 N=3时，由题意， A₃和 B₃只能均为1，3，2，结论仍成立.
第7页/共7页