浙江省温州市2025学年十校联合体高二下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份浙江省温州市2025学年十校联合体高二下学期期中联考数学试题（含答案），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：乐清市第二中学高一备课组 周巧云
审稿：乐清市第二中学高三备课组 项凯斌
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 40 13.[ \l "bkmark1" 2, \l "bkmark2" 4] 14.
小题解析：
11.法 1：赋值法
A.令 m = n = 0 可得 f(0) = 1 ，选项 A 正确.
B.令 m = 1 ，n = _1得 f f(_1) ≠ f(1)且f(_1) ≠ _f(1) ，f(x) 为非奇非偶函数，选项 B 错误.
C. ▽x1 , x2 ∈ (0, +∞) ，且 x1 < x2 ，则 x2 _ x1 > 0 ， f(x2 _ x1) > 1 .
f(x2) = f(x2 _ x1 + x1) = 2x2 _x1 f(x1) + 2x1 f(x2 _ x1) + 1 _ 2x2 _x1 _ 2x1
: f(x2) _ f(x1) = 2x2 _x1 f(x1) + 2x1 f(x2 _ x1) + 1 _ 2x2 _x1 _ 2x1 _ f(x` )
= (2x2 _x1 _1)[f(x1) _1] + 2x1 . [f(x2 _ x1) _1] > 0即 f(x2) > f(x1) ，所以 f(x) 在 (0, +∞)上单调递增，C 正确.
D.令m = x ， n = 1 得 f(x +1) = 2f(x) + 2x+1 _1 .
当 x → +∞ 时， f(x) > 1 ， 2x+1 _1→ +∞ , 故 f(x +1) → +∞ , 即 f(x) → +∞ .选项 D 错误.法 2：原型函数法
f(m + n) + 2m + 2n = 2m f(n) + 2n f(m) + 1 : f(m + n) _1 = 2m . [f(n) _1]+ 2n . [f(m) _1]
令 g(x) = f(x) _1 ，则 g(m + n) = 2m . g (n) + 2n . g (m) ，即 WZ10XIAO 高二数学学科 第 1页(共 7 页)
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4
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6
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8
A
C
B
D
B
A
C
A
9
10
11
BCD
ACD
AC
令 h 则 h(m + n) = h(n) + h(m) .
满足条件的函数 h(x) 的原型函数为 h(x) = kx ，则 f(x) = kx . 2x + 1 .由 f(1) = 3 得 k = 1 ，所以 f(x) = x . 2x + 1 ，即可判断各个选项.
14.由题意可得， BC 的中点为点O1 ，取 AD 的中点M ，点 O2 在线段 O1M 上.
设截面与 AC 交于点E ，则截面与BD 相交于点F .
x x x x x x设 O1E = xO1C + (1_ x)O1A ， O1F = yO1B + (1_ y )O1D ，
x x x x x x x则 O1M = λO1E + μO1F = λxO1C + λ(1_ x )O1A + μyO1B + μ(1_y )O1D
(
| λx = μy
| 1
:〈| λ(1_ x) = 2 :x = y | 1
|lμ (1__ y) = 2
又 AC = BD : AE = DF ， CE = BF可证 ΔO1CE 三 ΔO1BF ， ΔDMF 三 ΔAME
: O1E = O1F ， ME = MF ，即截面关于直线 O1O2 对称
翻折可得min 所以L 的最小值为 .
（若截面与 CD 相交，则截面与 AB 相交，情况与上面一样）
四、解答题：本大题共5 小题，共 77 分.
15. （本小题满分 13 分）
（1）（6 分）
法 1 ： b a csA ………………………2 分
: a = 2a cs A :csA ………………………2 分
A∈(0, π ) :A ………………………2 分法 2： sin Bcs C + sin CcsB = 2sin Acs A ………………………2 分
:sin(B + C) = 2sin AcsA : sin A = 2sin Acs A
A∈(0, π ) : sin A ≠ 0 :csA ………………………2 分
:A ………………………2 分
（2）（7 分）
法 1： a2 = b2 + c2 _ 2bc csA :1 = b2 + c2 _bc = (b+ c)2 _ 3bc ………………………2 分
2 _1 = 3bc ………………………2 分 :(b+ c)2 ≤ 4 ，即b + c ≤ 2 ，当且仅当b = c = 1时取等.
:b + c 的最大值为 2 ………………………3 分（取等条件 1 分）
法 2：由 得： b sin B ， c sinC . ………………………2 分
………………………3 分当B 时， b + c 取到最大值 2. ………………………2 分
16. （本小题满分 15 分）
（1）（6 分）
法 1：连接 AO 并延长交 BC 于点H ，取 B1C1 的中点H1 ，连接 HH1 和 A1H1 ，
点 O 为 ΔABC 的重心， ΔABC 为正三角形
: 点H 为 BC 的中点， BC 丄 AH ………………………1 分又 点H 为 B1C1 的中点，侧面 BCC1B1 是等腰梯形
: BC 丄 HH1 ………………………2 分 AH HH1 = H : BC 丄 平面 AHH1A1 ………………………2 分 A1O C 平面 AHH1A1 : A1O 丄 BC ………………………1 分
法 2：可补形成正三棱锥证明.
（2）（9 分）法 1：
如图，以点H 为坐标原点建立空间直角坐标系.
则 A(33, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， C(0, _3, 0) .
在梯形 AHH1A1 中，作 A1M 丄 AH 交 AH于点M ，作 H1N 丄 AH 交 AH于点 N ，计算得 A1H ， AH = 33 ， HH ，
3 3 3
由 AA12 _ AM2 = HH12 _ HN2 可得 HN H1N .
:H1 ( , 0, 6 ) ，B1 ( , , 6 ) ………………………2 分（建系+1 点坐标 1 分，H1 或 B1 坐标 1 分） 2 2 2
: ABx= (_3·丶3, 3, 0) ， BCx= (0, _6, 0) ………………………2 分
x
设平面 BCC1B1 的法向量为 n = (x, y , z) .
x
: n = (22 , 0, _1) 2 分 :| cs ………………………2 分
: 直线 AB 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为 . ………………………1 分xx
由 z = 0 ，令 z = _1 ，则 x = 2 EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 9(2),…)…，EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 9(y),…) = 0 .
（正弦值与 | cs < AB, n >| 的关系）
法 2：
过点 A 作 AT 丄 HH1 交HH1 于点T ，连接BT .
BC 丄 平面 AHH1A1 BC C 平面 BCC1B \l "bkmark3" 1
: 平面 BCC1B1 丄 平面 AHH1A1 2 分
又 平面 BCC1B1 平面 AHH1A1 = HH1 ， AT C 平面 AHH1A1 ， AT 丄 HH \l "bkmark4" 1
: AT 丄 平面 BCC1B1 2 分
: LABT 是直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角 1 分
在梯形 AHH1A1 中，作 A1M 丄 AH 交 AH于点M ，作 H1N 丄 AH 交 AH于点 N ，计算得 A1H ， AH = 3·3 ， HH
由 AA12 - AM2 = HH12 - HN2 可得 HN = 3 ,cs LNHH1 = 1 即 sin LAHH1 = 22 .
2 3 3
: AT = AH . sin LAHH1 = 2 6 2 分
在 RtΔABT 中， sin LABT 即直线 AB 与平面BCC1B1 所成角的正弦值为 .
………………………2 分
法 3：
补形为正三棱锥 P - ABC . ………………………1 分
设点 A 到平面 BCC1B1 的距离为 d ，直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角为θ .
VA-PBC = VP-ABC ………………………2 分
SΔ PBC . d SΔABC . PO : d = PO ………………………2 分
计算得 PO = 26 ，即 d = 2 ·6 ………………………2 分
: sin 即直线 AB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 .
………………………2 分
17.（本小题满分 15 分）
（1）（4 分）
f(x)是偶函数 :f(_x) = f(x) ………………………1 分
即 lg2 (4__x + a) + x = lg2 (4x + a) _ x
:2x = lg2 (4x + a) _ lg2 (4__x + a)
x = 4x ………………………2 分
:4x + a = 1 + a . 4x : a = 1 1 分
（ \l "bkmark5" 2）
( ⅰ ) （5 分）
由（1）可得 f = lg2 _ x = lg lg2
: g = 2lg2 ………………………2 分
令u = 2x ，则 y = u .
x ∈[ \l "bkmark6" 0, \l "bkmark7" 2] :u ∈[ \l "bkmark8" 1, \l "bkmark9" 4] ………………………1 分
y = u 在 [ \l "bkmark10" 1, \l "bkmark11" 4] 上单调递增 :y = u
:g(x) 的值域为 ………………………2 分
( ⅱ ) （6 分）
令 t = 2x 则 t t2 _ 2 .
不等式 mmg 0 ，可化为 m(t2 _ 2) _ 2mt + 3 ≥ 0 ， 即 mt2 _ 2mt _ 2m + 3 ≥ 0 对任意t 恒成立. ………………………2 分
令 h(t) = mt2 _ 2mt _ 2m + 3 ， h(t) 的对称轴为t = 1 ，只需 h(t)min ≥ 0 .
当 m = 0 时， h(t) = 3 ≥ 0 恒成立.
当 m > 0 时， h 单调递增， h(t)min = h(2) = _2m + 3 ≥ 0 ，解得 0 < m ≤ .
当 m < 0 时， h(t) 在 单调递减， hmin = hm + 3 ≥ 0 ，解得 _ ≤ m < 0 .
………………………3 分
综上所述， m 的取值范围是 . ………………………1 分
18.（本小题满分 17 分）
（1）（4 分）
设甲生产线生产的这批电子产品有 a 件，乙生产线生产的这批电子产品有b 件，
事件 A =“混合在一起的电子产品来自甲生产线 ”，事件 B =“混合在一起的电子产品来自乙生产线 ”，事件 C = “混合在一起的某一零件是合格品 ”，
则P P .
由P = P+ Px 0.95 = 0.94 ， ………………………2 分得 .
所以甲、乙两条生产线的产量之比为1 : 4 . ………………………2分
（2）（7 分）
由（1）可知， 甲生产线产品占总量的 ，所以X B . ………………………2 分P(X = 0) = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(0),3)()0 ()3 = = C
所以X 的分布列：
………………………3 分（2+1）
E ………………………2 分
（3）（6 分）
从混合产品中抽取 1 件是甲生产线生产的不合格品的概率为x 0.1 = 0.02 ，
则 pn = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),n) . (0.02)2 . (0.98)n_ 2 ………………………3 分（2+1）
X
0
1
2
3
P
64
125
48
125
12
125
1
125
≥ pn+1
≥ pn_1
(p
由〈 n
lpn
, 解得 99 ≤ n ≤ 100 .
所以当 n = 99 或100 时， pn 取得最大. ………………………3 分
19.（本小题满分 17 分）
（1）（3 分）
当 a = 1时， f(x) = (x _1)ex ， f,(x) = xex . ………………………1 分
令f,(x) > 0 得x > 0 ，令f,(x) < 0 得x < 0 .
所以函数 f(x) 的单调增区间为(0, +∞) ，单调减区间为(_∞, 0) .………………………2 分
（2）（6 分）
函数 gxlnx 的定义域为(0, +∞) ，求导得 g,(x) = x + ln x +1 g ,() = _ 2 + 1 = _1 < 0 ， g
:彐x 使得 g,(x0) = 0 ，即 x0 + ln x0 +1 = 0 ， ln x0 = _x0 _1 ………………………2 分又 g,(x)在 (0, +∞)上单调递增
: 当x ∈ (0, x0) 时， g,(x) < 0 ；当 x ∈ (x0 , +∞) 时， g,(x) > 0
:g(x)在 (0, x0)上单调递减，在 (x0 , +∞)上单调递增 ………………………2 分
x2 1 1
2 e e
y = _ _ x 在 x ∈ ( 2 , ) 上单调递减
即 g ………………………2 分
（3）（8 分）
▽x1 , x2 ∈ [1, e] ，且 x1 > x2 都有 _3(x1 _ x2) < h(x1) _ h(x2) < 3(x1 _ x2) ，即 .
:h(x)__ 3x在 [1, e]上单调递减， h(x)+ 3x 在[1, e]上单调递增. ………………………2 分
:h,(x)__ 3 ≤ 0 在[1, e]上恒成立， h,(x)+ 3 ≥ 0 在[1, e]上恒成立h,(x) = axex _ x _ ln x _1 = axex _ ln(xex) _1
令 t = ln(xex) ， xex 在 [1, e]上单调递增 :xex ∈ [e, e1+e] ， t ∈[1, 1 + e]
:aet _ t _ 4 ≤ 0 在 t ∈[1, 1 + e]上恒成立， aet _ t + 2 ≥ 0 在t ∈[1, 1 + e]上恒成立
………………………2 分
由 aet _ t _ 4 ≤ 0 得 a ≤ , 令 则 a ≤ ⑴(t)min .
, 在 t ∈[1, 1 + e] 上单调递减， min = ⑴
e + \l "bkmark12" 5
所以 a ≤ 1+e 2 分
e
由 aet _ t + 2 ≥ 0 得 a ≥ , 令 则 a ≥ φ(t)max .
, 当 t ∈[1, 3) 时φ,(t) > 0 ， φ (t) 单调递增；当 t ∈(3, 1+ e] 时φ,(t) < 0 ， φ (t) 单调递减.
max 所以 a ≥ . ………………………2 分
综上所述，实数 a 的取值范围为 .