北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试卷

这是一份北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年下学期高二期中考试数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数，那么等于（ ）
A. B. C. D.
2.学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（）
A. B. C. D.
3.某位飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设X为该运动员连续射击3次的中靶次数，则X的期望和方差分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4.将两枚骰子各掷一次，记“两次点数都不同”为事件M，“至少出现一次2点”为事件N，则条件概率（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=tanx，则等于（ ）
A. B. C. 1D. 2
6.重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数
8.“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（）种拿法.
A. 18B. 11C. 9D. 6
10.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，函数的导函数的示意图如下图，则下列关于函数的命题，错误的个数是（ ）
①函数的极大值点为与4；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么实数t的最大值为2；
④曲线与直线的交点个数可能为0、1、2、3、4个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知的二项展开式的二项式系数和为32，则二项展开式的各项系数和为 .
12.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 .
13.能说明“若f'（0）=0，则x=0是函数y=f（x）极值点”为假命题的一个函数是
．
14.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
15.已知函数，.给出下列四个结论：
①当时，在其定义域上为增函数；
②若在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是；
③当时，有2个零点；
④当时，存在过原点的曲线的切线.
其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知函数（），且.
(1)求函数的解析式；
(2)若曲线的切线与x轴平行，求该切线的方程.
17.(本小题12分)
防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如表：
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
18.(本小题12分)
某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”.

(1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
(2)该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；
(3)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明）
19.(本小题12分)
已知函数
(1)若，求的最值；
(2)讨论函数的单调性.
20.(本小题14分)
已知函数.
(1)当时，求的极值点；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
已知为正整数，数列：，记．对于数列，总有，，则称数列为项0-1数列．若数列A：，：，均为项0-1数列，定义数列：，其中，．
(1)已知数列A：1，0，1，：0，1，1，直接写出和的值；
(2)若数列A，均为项0-1数列，证明：；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项0-1数列A，，，使得，并说明理由
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】243
12.【答案】
13.【答案】f（x）=x3​​​​​​​（或f（x）=1等，答案不唯一）
14.【答案】2
15.【答案】②④
16.【答案】解：（1）由，得，
则，即，
则.
（2）由，得，
设切点为，则，解得或，
则切点为或，切线斜率为0，
所以该切线的方程为或.

17.【答案】解：（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，
从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，
由图表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”．
所以．
（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
所以随机变量X的分布列为：
所以．
（Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．
18.【答案】解：（1）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”，
由图表，得，解得，
由图表，知不是“级”种子的频率为，
故可估计.
（2）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为，
恰好是“级”康乃馨的概率为，
恰好是“级”的概率为，
而随机变量的可能取值有、、、、，
则，，
，，
.
所以的分布列为：
故的数学期望．
（3）设原来康乃馨种子有种，其发芽率分别为，
平均数为，
方差为，
发芽率提高到原来的1.1倍后，发芽率分别为，
此时平均数为，
则方差为
，
因此，技术改进后发芽率数据的方差是变大了.

19.【答案】解：（1）当时，，，
所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，无最大值.
（2）由，
则，
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增；
当时，令或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.

20.【答案】解：（1）由题意得，
当时，令，得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则函数的极小值点为，极大值点为0.
（2）由，得到，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，即在区间上单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，所以，
得到，所以，故的取值范围为．

21.【答案】（1）解：因为数列A：1，0，1，：0，1，1，
所以数列：，数列：，
所以，；
（2）证明：对于两个0-1数列A：和：，
记数列：，对于，
若，则此时；
若，则此时，
故对于数列：，考虑的值：
若，则；
若，则，
所以与是同一数列，
所以；
（3）解：若是奇数，则不存在满足条件的项0-1数列A，，，证明如下：
对于3个项0-1数列A，，，
记，
则，
当时，，
当中有一个不同于其他两个时，，
所以是奇数，
则为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为；
若为偶数，即，
可构造：，，，
此时数列为，数列，相同，都是，
所以有，
综上所述，当为偶数时，有可能为，
当为奇数时，不可能成立.
x
2
4
5
2
1
2
0
1
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
蓄水量（亿立方米）
11.25
13.25
13.58
17.4
12.4
12.1
18.3
26.5
34.3
34.1
X
0
1
2
P