北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 在等差数列中，若，则（ ）
A 6B. 10C. 7D. 5
2. 已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A. 第5项B. 第6项
C. 第7项D. 非任何一项
3. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为
A. B. C. D.
4. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )

A. -1B. 1C. -2D. 2
5. 已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则
A. 4B. 10C. 16D. 32
6. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（ ）
A. B.
C. D.
7. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A. B.
C. D.
8. 已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
9. 等比数列中，，，函数，则
A. B. C. D.
10. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是( )
A B. C. D.
二、填空题（共5小题；共10分）
11. 已知是等差数列，若，则_______.
12. 已知函数，且，那么的值为_____．
13. 是正项等比数列的前和，，，则______．公比______．
14. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积取得最大值时，的值为_________.
15. 小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用m，k表示）.
三、解答题
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列通项公式；
（2）求的最小值．
17. 已知在直三棱柱中，，直线与平面ABC成的角．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
19 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
20. 已知椭圆过点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与轴不重合，直线，分别与轴交于，两点.求证：为定值.
21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
（3）记，求证：．