2026年高考数学一轮专题训练：三角函数1 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：三角函数1 [含答案]，共12页。试卷主要包含了函数f=2sin的最小正周期为等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•安徽期中）函数f(x)=2sin(πx+π12)的最小正周期为（ ）
A．πB．2πC．1D．2
2．（2025春•安康期中）已知4tanθ﹣1＝0，则csθ−3sinθsinθ+5csθ=（ ）
A．519B．119C．521D．121
3．（2025春•广陵区校级期中）已知α∈（0，π），且3cs2α﹣8csα＝5，则csα＝（ ）
A．−459B．−23C．49D．4527
4．（2025•朝阳区一模）已知sinα+sinβ＝0，csα+csβ=3，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．−12B．12C．32D．1
5．（2025春•阆中市校级期中）为了得到函数y=2sin(3x+π5)的图象，只要把函数y＝2sin3x图象上所有的点（ ）
A．向左平移π5个单位长度
B．向右平移π5个单位长度
C．向左平移π15个单位长度
D．向右平移π15个单位长度
6．（2025春•清远期中）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移π3ω个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．(0，56)
C．(0，13)∪(23，56)D．(0，13]∪[23，56]
7．（2025春•安徽期中）已知0＜β＜α＜π2，sin（α﹣β）=45，tanαtanβ＝2，则cs（α+β）＝（ ）
A．35B．15C．−15D．−35
8．（2025春•驻马店期中）若实数x，y满足cs2ysinx+3=12，则sin（x+y）＝（ ）
A．±12B．﹣1C．±1D．12
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025•渝中区校级模拟）已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=cs(2x−π3)，则下列说法正确的有（ ）
A．(−π6，0)是f（x）图象的一个对称中心
B．x=π12是g（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的周期也是g（x）的周期
D．g（x）图象可以由f（x）图象向右平移π6个单位得到
（多选）10．（2025•内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．直线x=7π8是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线x=π4是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点(π8，0)是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间[3π8，7π8]上单调递减
（多选）11．（2025春•安徽期中）cs(π3−α)=（ ）
A．sin(2π3+α)B．sin(π6+α)
C．cs(−2π3−α)D．cs(5π3+α)
（多选）12．（2025春•萍乡期中）若0≤x≤π，则满足不等式cs2x＞sin2x成立的x的集合有（ ）
A．[0，π8)B．(π8，5π8)C．[π2，5π8)D．(5π8，π]
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•顺庆区校级期中）若sin2θ=116，θ∈(0，π2)，则sinθ+csθ＝ ．
14．（2025春•宁德期中）函数y=tan(x5+π5)的最小正周期为 ，定义域为 ．
15．（2025春•长宁区校级期中）函数f（x）＝tan（4﹣2x）的最小正周期为 ．
16．（2025春•顺庆区校级期中）函数f（x）＝tan2x，x∈[0，π6]的值域是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•闵行区校级期中）已知f(x)=2sinxcsx+23cs2x−3．
（1）将f（x）化成Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)；
（2）求函数y＝f（x）在区间[−π4，π6]上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动π6个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．
18．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=2sin(x+π3)csx+32，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）的图象向右平移π3个长度单位后得到g（x）图象，求g（x）在[0，π2]上的值域．
19．（2025春•安徽期中）已知α∈(0，π4)，且sin2α=35．
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）若β∈(0，π2)，且tanβ=17，求2α+β．
20．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcsx﹣bcs2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
三角函数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•安徽期中）函数f(x)=2sin(πx+π12)的最小正周期为（ ）
A．πB．2πC．1D．2
【考点】三角函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】D
【分析】由正弦型函数的周期公式计算即得．
解：由题意可得f（x）的最小正周期T=2ππ=2．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．
2．（2025春•安康期中）已知4tanθ﹣1＝0，则csθ−3sinθsinθ+5csθ=（ ）
A．519B．119C．521D．121
【考点】同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】D
【分析】由已知结合同角基本关系即可求解．
解：因为4tanθ﹣1＝0，
则csθ−3sinθsinθ+5csθ=1−3tanθtanθ+5=1−3×1414+5=121．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
3．（2025春•广陵区校级期中）已知α∈（0，π），且3cs2α﹣8csα＝5，则csα＝（ ）
A．−459B．−23C．49D．4527
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由已知结合二倍角公式进行化简即可求解．
解：因为α∈（0，π），且3cs2α﹣8csα＝6cs2α﹣8csα﹣3＝5，
整理得3cs2α﹣4csα﹣4＝0，
则csα=−23．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
4．（2025•朝阳区一模）已知sinα+sinβ＝0，csα+csβ=3，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．−12B．12C．32D．1
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】B
【分析】将已知两个等式两边平方相加，由同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式计算即可得解．
解：因为sinα+sinβ＝0，csα+csβ=3，
所以（sinα+sinβ）2＝0，（csα+csβ）2＝3，
即sin2α+sin2β+2sinαsinβ＝0，cs2α+cs2β+2csαcsβ＝3，
两式相加可得（sin2α+cs2α）+（sin2β+cs2β）+2（csαcsβ+sinαsinβ）＝3，
即1+1+2cs（α﹣β）＝3，解得cs（α﹣β）=12．
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2025春•阆中市校级期中）为了得到函数y=2sin(3x+π5)的图象，只要把函数y＝2sin3x图象上所有的点（ ）
A．向左平移π5个单位长度
B．向右平移π5个单位长度
C．向左平移π15个单位长度
D．向右平移π15个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】综合法；三角函数的图象与性质；能力层次；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
解：把函数y＝2sin3x图象上的所有点向左平移π15个单位长度即可得到y=2sin[3(x+π15)]=2sin(3x+π5)的图象．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的平移变换，属于基础题．
6．（2025春•清远期中）将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移π3ω个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，1]B．(0，56)
C．(0，13)∪(23，56)D．(0，13]∪[23，56]
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】D
【分析】结合函数图象的伸缩变换及平移变换求出g（x），然后结合正弦函数零点存在条件即可求解．
解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍，纵坐标不变，可得y＝sinωx，
再把所得图象的所有点向左平移π3ω个单位长度，得到函数g（x）＝sin（ωx+π3），的图象，
若g（x）在（π，2π）上没有零点，则2π−π≤12T=πω，
所以0＜ω≤1，
因为0＜x＜π，所以ωπ+π3＜ωx+π3＜2ωπ+π3，
当g（x）在（π，2π）上没有零点时，2ωπ+π3≤π0＜ω≤1或ωπ+π3≥π2ωπ+π3≤2π0＜ω≤1，
解得0＜ω≤13或23≤ω≤56，
故ω的范围为{ω|0＜ω≤13或23≤ω≤56}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的伸缩及平移变换，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
7．（2025春•安徽期中）已知0＜β＜α＜π2，sin（α﹣β）=45，tanαtanβ＝2，则cs（α+β）＝（ ）
A．35B．15C．−15D．−35
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】先根据同角三角函数关系得出cs(α−β)=35，再结合切化弦计算两角和余弦值即可．
解：由题意，故0＜α−β＜π2，且sin(α−β)=45，
所以cs(α−β)=1−sin2(α−β)=35，csαcsβ+sinαsinβ=35，
又因为tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=2，所以csαcsβ=15，sinαsinβ=25，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=15−25=−15．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2025春•驻马店期中）若实数x，y满足cs2ysinx+3=12，则sin（x+y）＝（ ）
A．±12B．﹣1C．±1D．12
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据正余弦函数的最值结合cs2ysinx+3=12可得sinx+3=2cs2y=1，从而可求出x，y，进而可得出答案．
解：由三角函数的值域可知cs2y≤1，sinx≥﹣1，所以sinx+3≥2，
实数x，y满足cs2ysinx+3=12，
所以cs2ysinx+3≤12，
当且仅当sinx+3=2cs2y=1时取等号，此时x=−π2+2k1π，k1∈Zy=k2π，k2∈Z，
所以x+y=−π2+kπ，k∈Z，
所以sin（x+y）＝±1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025•渝中区校级模拟）已知函数f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=cs(2x−π3)，则下列说法正确的有（ ）
A．(−π6，0)是f（x）图象的一个对称中心
B．x=π12是g（x）图象的一条对称轴
C．f（x）的周期也是g（x）的周期
D．g（x）图象可以由f（x）图象向右平移π6个单位得到
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数性质的应用，检验各选项即可判断．
解：因为f(x)=sin(2x+π3)，g(x)=cs(2x−π3)，
则f（−π6）＝sin0＝0，即（−π6，0）是函数f（x）的一个对称中心，A正确；
g（π12）＝cs（2×π12−π3）=32，不是函数的最值，即x=π12不是g（x）的对称轴，B错误；
f（x）与g（x）的周期都为π，C正确；
f（x）图象向右平移π6个单位可得y＝sin2x≠g（x），D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
（多选）10．（2025•内江三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图，将曲线y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A．直线x=7π8是函数g（x）图象的一条对称轴
B．直线x=π4是函数g（x）图象的一条对称轴
C．点(π8，0)是函数g（x）图象的一个对称中心
D．函数g（x）在区间[3π8，7π8]上单调递减
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】由最值求解A，结合对称性及五点作图求出ω，φ，进而可求f（x），然后结合函数图象的平移变换及伸缩变换求出g（x），再由正弦函数的性质检验各选项即可判断．
解：由图象可得，A＝2，
因为f（0）＝f（π6）＝f（2π3），
所以函数的相邻对称轴分别为x=π12，x=π6+2π32=5π12，
则T＝2（5π12−π12）=2π3，ω＝3，
由五点作图可得，3×π12+φ=π2，则φ=π4，f（x）＝2sin（3x+π4），
y＝f（x）向右平移π6个单位长度，再将得到的曲线上的所有点横坐标变为原来的32倍，得到函数g（x）＝2sin（2x−π4），
因为2×7π8−π4=3π2，此时g（x）取得最小值，即x=7π8为函数的对称轴，A正确；
因为2×π4−π4π4，此时g（x）不是最值点，即x=π4不是函数的对称轴，B错误；
因为g（π8）＝2sin（2×π8−π4）＝0，即(π8，0)是函数g（x）对称中心，C正确；
当3π8≤x≤7π8时，π2≤2x−π4≤3π2，此时g（x）单调递减，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）11．（2025春•安徽期中）cs(π3−α)=（ ）
A．sin(2π3+α)B．sin(π6+α)
C．cs(−2π3−α)D．cs(5π3+α)
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】运用诱导公式对选项逐一化简求解即可．
解：选项A，sin（2π3+α）＝sin[π2+（π6+α）]＝cs（π6+α），故选项A错误；
选项B，sin(π6+α)=sin(π2−π3+α)=sin[π2−(π3−α)]=cs(π3−α)，故选项B正确；
选项C，cs(−2π3−α)=cs(2π3+α)=cs[π−(π3−α)]=−cs(π3−α)，故选项C错误；
选项D，cs(5π3+α)=cs(2π−π3+α)=cs(−π3+α)=cs(π3−α)，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查诱导公式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
（多选）12．（2025春•萍乡期中）若0≤x≤π，则满足不等式cs2x＞sin2x成立的x的集合有（ ）
A．[0，π8)B．(π8，5π8)C．[π2，5π8)D．(5π8，π]
【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】AD
【分析】题意等价于解2cs（2x+π4）＞0，由x的范围，得到2x+π4整体的范围，根据余弦函数的取值情况解出不等式．
解：cs2x＞sin2x，即cs2x﹣sin2x＞0，即2cs（2x+π4）＞0，
因为0≤x≤π，所以2x+π4∈[π4，9π4]，
当2x+π4∈[π4，π2）∪（3π2，9π4]时，
即x∈[0，π8）∪（5π8，π]时，2cs（2x+π4）＞0，即cs2x﹣sin2x＞0．
故选：AD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和解三角不等式，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•顺庆区校级期中）若sin2θ=116，θ∈(0，π2)，则sinθ+csθ＝ 174 ．
【考点】二倍角的三角函数的逆用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】174．
【分析】结合同角基本关系及二倍角公式即可求解．
解：若sin2θ=116，θ∈(0，π2)，则sinθ+csθ＞0，
因为（sinθ+csθ）2＝1+2sinθcsθ＝1+sin2θ=1716，
故sinθ+csθ=174．
故174．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
14．（2025春•宁德期中）函数y=tan(x5+π5)的最小正周期为 5π ，定义域为 {x|x≠3π2+5kπ，k∈Z} ．
【考点】正切函数的单调性和周期性；正切函数的定义域和值域．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】5π；{x|x≠3π2+5kπ，k∈Z}．
【分析】根据正切函数周期公式及定义域计算求解．
解：函数y=tan(x5+π5)的最小正周期T＝5π．
由x5+π5≠π2+kπ，k∈Z，得x≠3π2+5kπ，k∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠3π2+5kπ，k∈Z}．
故5π；{x|x≠3π2+5kπ，k∈Z}．
【点评】本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题．
15．（2025春•长宁区校级期中）函数f（x）＝tan（4﹣2x）的最小正周期为 π2 ．
【考点】正切函数的单调性和周期性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】π2．
【分析】结合正切函数的周期公式即可求解．
解：根据正切函数的性质可知，T=π2．
故π2．
【点评】本题主要考查了正切函数性质的应用，属于基础题．
16．（2025春•顺庆区校级期中）函数f（x）＝tan2x，x∈[0，π6]的值域是 [0，3] ．
【考点】正切函数的图象．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】[0，3]．
【分析】根据正切函数的单调性，求解即可．
解：x∈[0，π6]时，2x∈[0，π3]，
根据正切函数的单调性知，tan2x∈[0，3]，
所以f（x）的值域是[0，3]．
故[0，3]．
【点评】本题考查了正切函数的单调性应用问题，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•闵行区校级期中）已知f(x)=2sinxcsx+23cs2x−3．
（1）将f（x）化成Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)；
（2）求函数y＝f（x）在区间[−π4，π6]上的单调减区间；
（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动π6个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）f（x）＝2sin（2x+π3）；
（2）[π12，π6]；
（3）(0，4199π]．
【分析】（1）根据两角和的正弦公式与二倍角公式进行化简，可得f（x）＝2sin（2x+π3）；
（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）在R上的减区间，然后将所得区间与[−π4，π6]取交集，即可得到f（x）在区间[−π4，π6]上的单调减区间；
（3）根据函数图象的变换公式算出g（x）＝2sin2ax，然后根据g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，运用正弦函数的性质建立关于a的不等式，解之即可得到本题的答案．
解：（1）由题意得f（x）＝sin2x+3（2cs2x﹣1）＝sin2x+3cs2x＝2sin（2x+π3）．
（2）对于f(x)=2sin(2x+π3)，令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2（k∈Z），解得kπ+π12≤2x+π3≤kπ+7π12（k∈Z），
可得y＝f（x）在R上的单调减区间为[kπ+π12，kπ+7π12]（k∈Z），
取k＝0，将得到的单调减区间与[−π4，π6]取交集，可得[π12，π6]，
所以函数y＝f（x）在区间[−π4，π6]上的单调减区间为[π12，π6]．
（3）将函数f（x）的图像向右移动π6个单位，可得y＝2sin2x的图像．
再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍，可得到y=g(x)=2sin2ax的图像，
根据当−2a=−100π+π2时，g（x）在区间[﹣1，1]上正好有100个最大值，
可知：若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，
则−2a≤−100π+π2，解得0＜a≤4199π，故实数a的取值范围为(0，4199π]．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、函数图象的变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18．（2025春•浙江期中）已知函数f(x)=2sin(x+π3)csx+32，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）的图象向右平移π3个长度单位后得到g（x）图象，求g（x）在[0，π2]上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z；
（2）[32，1+3]．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换可求函数的解析式，进一步利用函数的性质即可求解；
（2）利用函数图象的平移变换求出函数g（x）的解析式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
解：（1）因为f(x)=2sin(x+π3)csx+32=2csx（12sinx+32csx）+32=sinxcsx+3cs2x+32=12sin2x+32cs2x+3=sin（2x+π3）+3，
令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z；
（2）由题意可得g（x）＝f（x−π3）＝sin[2（x−π3）+π3]+3=sin（2x−π3）+3，
由于x∈[0，π2]，可得2x−π3∈[−π3，2π3]，
所以sin（2x−π3）∈[−32，1]，
可得g（x）＝sin（2x−π3）+3∈[32，1+3]．
【点评】本题考查的知识点：函数的解析式的求法，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2025春•安徽期中）已知α∈(0，π4)，且sin2α=35．
（Ⅰ）求tanα；
（Ⅱ）若β∈(0，π2)，且tanβ=17，求2α+β．
【考点】求两角和与差的三角函数值；求二倍角的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【正确答案】（Ⅰ）tanα=13．
（Ⅱ）π4．
【分析】（Ⅰ）结合二倍角公式及同角基本关系即可求解；
（2）结合二倍角公式及同角基本关系即可求解．
解：（Ⅰ）因为sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=35，
整理得3tan2α﹣10tanα+3＝0，解得tanα＝3或tanα=13，
因为α∈(0，π4)，所以0＜tanα＜1，所以tanα=13．
（Ⅱ）由（I）知tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−19=34，
所以tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2αtanβ=34+171−34×17=1，
因为α∈(0，π4)，β∈(0，π2)，
所以2α+β∈（0，π），所以2α+β=π4．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于中档题．
20．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝asinxcsx﹣bcs2x+1．
（1）如果a＝b＝2，求函数f（x）的最小正周期与增区间；
（2）如果a＝4，b＝2，当x＝x0时，函数f（x）取得最大值，求tanx0的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【正确答案】（1）π，[−π8+kπ，3π8+kπ]，k∈Z；
（2）1+52．
【分析】（1）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=2sin(2x−π4)，进而利用正弦函数的性质即可求解；
（2）当a＝4，b＝2时，利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=5sin(2x−φ)，其中tanφ＝2，利用正弦函数的性质以及二倍角公式即可求解．
解：（1）当a＝b＝2时，f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x+1
＝sin2x﹣cs2x
=2sin(2x−π4)，
故函数f（x）的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ−π2≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，可得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的增区间为[−π8+kπ，3π8+kπ]，k∈Z；
（2）当a＝4，b＝2时，
可得f（x）＝4sinxcsx﹣（2cs2x﹣1）
＝2sin2x﹣cs2x
=5(sin2x⋅25−cs2x⋅15)
=5sin(2x−φ)，其中csφ=25，sinφ=15，tanφ＝2，
当2x0−φ=π2+2kπ，即2x0=φ+π2+2kπ时，f（x）取得最大值，
所以sin2x0=csφ=25，cs2x0=−sinφ=−15，
所以tanx0=sinx0csx0=2csx0sinx02csx0csx0=sin2x01+cs2x0=1+52．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．